Questão 3. ( 2,0 pt) Seja A B C um triângulo retângulo no vértice B. Sabendo que A(-2,2), B(-5,-1) e que a área da região triangular é igual a 6 u.m, use a teoria de vetores para determinar os possíveis pontos C. Esboce o triângulo no plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-2,2) e B(-5,-1), diz que o triângulo ABC é retângulo no vértice B (ou seja, o ângulo em B é reto) e que a área da região triangular é igual a 6 unidades de área. O que se pede: determinar todos os possíveis pontos C=(x,y) que satisfazem essas condições e esboçar o triângulo no plano cartesiano.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,A(-2,2), \,B(-5,-1), triângulo retângulo em B, área \,=6.

Passo 2

Primeiro vamos escrever o vetor \vec{BA}, que vai de B até A. Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) então \vec{BA}=(x_A-x_B,\;y_A-y_B). Aplicando aos valores:
\vec{BA} = A - B = (-2 - (-5),\; 2 - (-1)) = (3,\;3).
Anota aí: \vec{BA}=(3,3). Isso é útil porque a condição de retidão em B envolve a relação entre \vec{BA} e \vec{BC}.

Passo 3

Se o ângulo em B é reto, então os vetores \vec{BA} e \vec{BC} são perpendiculares. A condição de perpendicularidade em vetores é dada pelo produto escalar:
\vec{BA}\cdot\vec{BC}=0.
Colocando \vec{BC}=C-B=(x+5,\;y+1) (pois B=(-5,-1) e C=(x,y)), o produto escalar fica
(3,3)\cdot(x+5,\;y+1) = 3(x+5)+3(y+1)=0.
Dividindo por 3 obtemos uma equação linear que descreve a reta onde C deve estar:
x+y+6=0.
Portanto qualquer C candidato deve satisfazer \,y=-x-6. Isso já reduz bastante as possibilidades: C está sobre essa reta perpendicular a \vec{BA} passando por B.
Pequena explicação do conceito usado: o produto escalar de dois vetores (u_1,u_2) e (v_1,v_2) é u_1v_1+u_2v_2. Quando esse produto é zero, os vetores são perpendiculares. Aqui usamos isso para transformar a condição "ângulo reto em B" numa equação sobre x e y.

Passo 4

Agora usamos a condição da área. A área de um triângulo formado por dois vetores a partir do mesmo vértice é metade da área do paralelogramo gerado por esses vetores. Em vetores 2D, a área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas dos vetores. Logo:
\text{Área do triângulo }ABC = \tfrac{1}{2}\,|\det(\vec{BA},\vec{BC})|.Áâ
Aqui \det((u_1,u_2),(v_1,v_2)) = u_1v_2 - u_2v_1.
Aplicando com \vec{BA}=(3,3) e \vec{BC}=(x+5,y+1):
\det(\vec{BA},\vec{BC}) = 3(y+1) - 3(x+5) = 3\bigl(y+1 - x -5\bigr) = 3(y - x -4).
Como a área dada é 6, temos
\tfrac{1}{2}\,|3(y-x-4)| = 6.
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por 3 obtemos
|y - x -4| = 4.
Isto gera duas possibilidades para a expressão interna do valor absoluto:
y - x -4 = 4 \quad\text{ou}\quad y - x -4 = -4.

Passo 5

Resolvemos as duas possibilidades, sempre lembrando que também precisamos satisfazer a condição de perpendicularidade y=-x-6.
Caso 1: y - x -4 = 4. Então y - x = 8, isto é y = x + 8.
Juntando com y = -x -6 (da perpendicularidade), temos
x + 8 = -x -6 \Rightarrow 2x = -14 \Rightarrow x = -7.
Então y = x + 8 = -7 + 8 = 1. Assim um ponto candidato é
C_1 = (-7,\;1).
Caso 2: y - x -4 = -4. Então y - x = 0, isto é y = x.
Juntando com y = -x -6 obtemos
x = -x -6 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3.
Então y = x = -3. Assim o outro ponto candidato é
C_2 = (-3,\,-3).

Passo 6

Vamos verificar rapidamente que ambos os pontos satisfazem as duas condições (perpendicularidade e área):
Para C_1=(-7,1):
\vec{BC}=C_1-B = (-7+5,\;1+1)=(-2,2).
Produto escalar com \vec{BA}=(3,3):
(3,3)\cdot(-2,2)=3(-2)+3(2)= -6+6=0,
logo são perpendiculares. Determinante:
\det(\vec{BA},\vec{BC}) = 3\cdot 2 - 3\cdot(-2)=6+6=12,
área do triângulo = \tfrac{1}{2}\cdot 12 = 6. OK.
Para C_2=(-3,-3):
\vec{BC}=(-3+5,\,-3+1)=(2,-2).
Produto escalar:
(3,3)\cdot(2,-2)=3\cdot 2 + 3\cdot(-2)=6-6=0,
perpendiculares. Determinante:
\det(\vec{BA},\vec{BC}) = 3\cdot(-2) - 3\cdot 2 = -6 -6 = -12,
área = \tfrac{1}{2}\cdot |{-12}| = 6. OK.
Portanto ambos os pontos encontrados são soluções válidas.

Passo 7

Como esboçar no papel (passo a passo para o desenho):\n1) Trace dois eixos perpendiculares e marque B(-5,-1) e A(-2,2). Você pode contar: de B para A sobe 3 e vai 3 para a direita, consistindo com \vec{BA}=(3,3).\n2) Marque os pontos C_1=(-7,1) e C_2=(-3,-3) que encontramos. Note que ambos estão sobre a reta y=-x-6 (a reta perpendicular ao segmento BA que passa por B).\n3) Desenhe os triângulos A B C_1 e A B C_2. Em cada triângulo, o ângulo em B é reto (marque um quadradinho) e a área de cada triângulo é 6.\n4) Observe que os dois triângulos são “reflexos” um do outro em torno da reta que passa por B e é paralela a \vec{BA} — intuição útil para visualizar as duas possibilidades.

Resposta

(-7,1)
(-3,-3)

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