Questão 3. ( 2,0 pt) Seja
um triângulo retângulo no vértice
. Sabendo que
e que a área da região triangular é igual a 6 u.m, use a teoria de vetores para determinar os possíveis pontos
. Esboce o triângulo no plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e
, diz que o triângulo
é retângulo no vértice
(ou seja, o ângulo em
é reto) e que a área da região triangular é igual a
unidades de área. O que se pede: determinar todos os possíveis pontos
que satisfazem essas condições e esboçar o triângulo no plano cartesiano.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
, triângulo retângulo em
, área
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever o vetor
, que vai de
até
. Se
e
então
. Aplicando aos valores:
Anota aí:
. Isso é útil porque a condição de retidão em
envolve a relação entre
e
.
Passo 3
Se o ângulo em
é reto, então os vetores
e
são perpendiculares. A condição de perpendicularidade em vetores é dada pelo produto escalar:
Colocando
(pois
e
), o produto escalar fica
Dividindo por
obtemos uma equação linear que descreve a reta onde
deve estar:
Portanto qualquer
candidato deve satisfazer
. Isso já reduz bastante as possibilidades:
está sobre essa reta perpendicular a
passando por
.
Pequena explicação do conceito usado: o produto escalar de dois vetores
e
é
. Quando esse produto é zero, os vetores são perpendiculares. Aqui usamos isso para transformar a condição "ângulo reto em
" numa equação sobre
e
.
Passo 4
Agora usamos a condição da área. A área de um triângulo formado por dois vetores a partir do mesmo vértice é metade da área do paralelogramo gerado por esses vetores. Em vetores 2D, a área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas dos vetores. Logo:
Aqui
.
Aplicando com
e
:
Como a área dada é
, temos
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Isto gera duas possibilidades para a expressão interna do valor absoluto:
Passo 5
Resolvemos as duas possibilidades, sempre lembrando que também precisamos satisfazer a condição de perpendicularidade
.
Caso 1:
. Então
, isto é
.
Juntando com (da perpendicularidade), temos
Juntando com
Então
. Assim um ponto candidato é
Caso 2:
. Então
, isto é
.
Juntando com obtemos
Juntando com
Então
. Assim o outro ponto candidato é
Passo 6
Vamos verificar rapidamente que ambos os pontos satisfazem as duas condições (perpendicularidade e área):
Para
:
.
Produto escalar com :
Produto escalar com
logo são perpendiculares. Determinante:
área do triângulo
. OK.
Para
:
.
Produto escalar:
Produto escalar:
perpendiculares. Determinante:
área
. OK.
Portanto ambos os pontos encontrados são soluções válidas.
Passo 7
Como esboçar no papel (passo a passo para o desenho):\n1) Trace dois eixos perpendiculares e marque
e
. Você pode contar: de
para
sobe 3 e vai 3 para a direita, consistindo com
.\n2) Marque os pontos
e
que encontramos. Note que ambos estão sobre a reta
(a reta perpendicular ao segmento
que passa por
).\n3) Desenhe os triângulos
e
. Em cada triângulo, o ângulo em
é reto (marque um quadradinho) e a área de cada triângulo é
.\n4) Observe que os dois triângulos são “reflexos” um do outro em torno da reta que passa por
e é paralela a
— intuição útil para visualizar as duas possibilidades.