Sejam
e
vetores.
Escreva
como combinação linear de
e
.
Escreva
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
e pede para escrever
como combinação linear de
e
.
Ou seja: encontrar escalares (números) e
tais que uma combinação
seja exatamente
.
Ou seja: encontrar escalares (números)
Passo 2
O que significa escrever
como combinação linear de
e
?
Significa achar e
tais que
Significa achar
Aqui
e
são números reais desconhecidos. Quando multiplicamos um escalar por um vetor, multiplicamos cada componente do vetor por esse escalar; quando somamos vetores, somamos componente a componente. Vou usar isso em seguida.
Passo 3
Escrevendo a igualdade componente a componente: se
então, substituindo as componentes,
Isto gera um sistema de duas equações (uma para cada componente):
Essas duas equações determinam
e
.
Passo 4
Resolvo o sistema por substituição. Da primeira equação
isolamos
. Passo a passo:
dividindo ambos os lados por
,
Explicação rápida: dividir por
é válido porque
; isso nos dá
em função de
.
Passo 5
Substituo
na segunda equação
:
Agora calculo passo a passo:
Transformo
em fração com denominador
:
. Somando as frações:
Agora isolamos
dividindo por
:
Passo 6
Com
, voltamos à fórmula
:
Fiz a simplificação dividindo numerador e denominador por
.
Passo 7
Agora temos os escalares
e
. Posso escrever a combinação e verificar rapidamente:
Calculando cada componente:
Deu exatamente
, que é
. Portanto a combinação está correta.