Sejam vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e vec{w}=(3,2) vetores.
Escreva \vec{v} como combinação linear de \vec{u} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e \vec{w}=(3,2) e pede para escrever \vec{v} como combinação linear de \vec{u} e \vec{w}.
Ou seja: encontrar escalares (números) a e b tais que uma combinação a\vec{u}+b\vec{w} seja exatamente \vec{v}.

Passo 2

O que significa escrever \vec{v} como combinação linear de \vec{u} e \vec{w}?
Significa achar a e b tais que
a\vec{u}+b\vec{w}=\vec{v}.
Aqui a e b são números reais desconhecidos. Quando multiplicamos um escalar por um vetor, multiplicamos cada componente do vetor por esse escalar; quando somamos vetores, somamos componente a componente. Vou usar isso em seguida.

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente: se
a\vec{u}+b\vec{w}=\vec{v},
então, substituindo as componentes,
a(-2,3)+b(3,2)=(0,3).
Isto gera um sistema de duas equações (uma para cada componente):
-2a+3b=0
3a+2b=3.
Essas duas equações determinam a e b.

Passo 4

Resolvo o sistema por substituição. Da primeira equação
-2a+3b=0
isolamos a. Passo a passo:
-2a= -3b,
dividindo ambos os lados por -2,
a=\frac{3}{2}b.
Explicação rápida: dividir por -2 é válido porque -2\neq0; isso nos dá a em função de b.

Passo 5

Substituo a=\dfrac{3}{2}b na segunda equação 3a+2b=3:
3\left(\frac{3}{2}b\right)+2b=3.
Agora calculo passo a passo:
\frac{9}{2}b+2b=3.
Transformo 2b em fração com denominador 2: 2b=\dfrac{4}{2}b. Somando as frações:
\left(\frac{9}{2}+\frac{4}{2}\right)b=\frac{13}{2}b=3.
Agora isolamos b dividindo por \dfrac{13}{2}:
b=3\cdot\frac{2}{13}=\frac{6}{13}.

Passo 6

Com b=\dfrac{6}{13}, voltamos à fórmula a=\dfrac{3}{2}b:
a=\frac{3}{2}\cdot\frac{6}{13}=\frac{18}{26}=\frac{9}{13}.
Fiz a simplificação dividindo numerador e denominador por 2.

Passo 7

Agora temos os escalares a e b. Posso escrever a combinação e verificar rapidamente:
\frac{9}{13}\vec{u}+\frac{6}{13}\vec{w} =\frac{9}{13}(-2,3)+\frac{6}{13}(3,2) =\left(\frac{9}{13}\cdot(-2)+\frac{6}{13}\cdot3,\\ \frac{9}{13}\cdot3+\frac{6}{13}\cdot2\right).
Calculando cada componente:
x:\\ \frac{-18+18}{13}=0,\qquad y:\\ \frac{27+12}{13}=\frac{39}{13}=3.
Deu exatamente (0,3), que é \vec{v}. Portanto a combinação está correta.

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\frac{9}{13}\vec{u}+\frac{6}{13}\vec{w}

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