Prova de Calculo Dif. e Integral 3
Mostre que ointC F dr independe do caminho exibindo uma função potencial para F, e calcule a integral, onde F=x y^2 i+y x^2 j e C é um caminho de (0,0) a (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma prova de Cálculo Diferencial e Integral 3 que pede para mostrar que a integral de linha ointC F cdot dr não depende do caminho escolhido. Para isso, precisamos encontrar uma função potencial para o campo vetorial F = x y^2 i + y x^2 j. Depois, vamos calcular essa integral ao longo do caminho C que vai de (0,0) a (2,3). Vamos precisar usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial F é conservativo, ou seja, existe uma função potencial $ \phi(x,y) $ tal que phi(x,y) . Se encontrarmos essa F = nabla phi, podemos calcular a integral apenas com os valores de phi nos pontos inicial e final.

Passo 3

Vamos tentar encontrar a função potencial $ \phi(x,y) $. Sabemos que:
phi(x,y)
Portanto, temos as equações:
F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y )
partial phipartial x = x y^2

Passo 4

Vamos integrar partial phipartial x = x y^2 em relação a x para encontrar phi(x,y). A integral de x y^2 em relação a x é:
phi(x,y) = integral x y^2 , dx = 12 x^2 y^2 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, pois quando derivamos em relação a x, ela desaparece.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação partial phipartial y = y x^2 para determinar g(y). Diferenciando phi(x,y) em relação a y:
partial phipartial y = 12 x^2 cdot 2 y + g'(y) = x^2 y + g'(y)
Igualando com $ \frac{\partial \phi}{\partial y} = y x^{2} $:
partial phipartial y = y x^2
Isso significa que x^2 y + g'(y) = x^2 y implies g'(y) = 0 é uma constante. Podemos chamar essa constante de g(y).

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
phi(x,y) = 12 x^2 y^2 + C
Como a constante não afeta o cálculo da integral, podemos desconsiderá-la.

Passo 7

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha de (0,0) a (2,3) usando:
ointC F cdot dr = phi(2,3) - phi(0,0)

Passo 8

Calculando phi(2,3):
phi(2,3) = 12 cdot (2)^2 cdot (3)^2 = 12 cdot 4 cdot 9 = 362 = 18
E phi(0,0):
phi(0,0) = 12 cdot 0^2 cdot 0^2 = 0

Resposta

A integral ointC F cdot dr é igual a 18.

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