Prova de Calculo Dif. e Integral 3
Mostre que
independe do caminho exibindo uma função potencial para
, e calcule a integral, onde
e
é um caminho de
a
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma prova de Cálculo Diferencial e Integral 3 que pede para mostrar que a integral de linha
não depende do caminho escolhido. Para isso, precisamos encontrar uma função potencial para o campo vetorial
. Depois, vamos calcular essa integral ao longo do caminho
que vai de
a
. Vamos precisar usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial
é conservativo, ou seja, existe uma função potencial $ \phi(x,y) $ tal que
. Se encontrarmos essa
, podemos calcular a integral apenas com os valores de
nos pontos inicial e final.
Passo 3
Vamos tentar encontrar a função potencial $ \phi(x,y) $. Sabemos que:
Portanto, temos as equações:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
. A integral de
em relação a
é:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois quando derivamos em relação a
, ela desaparece.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação
para determinar
. Diferenciando
em relação a
:
Igualando com $ \frac{\partial \phi}{\partial y} = y x^{2} $:
Isso significa que
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Como a constante não afeta o cálculo da integral, podemos desconsiderá-la.
Passo 7
Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha de
a
usando:
Passo 8
Calculando
:
E
:
Resposta
A integral
é igual a
.