Considere a equação diferencial:
c) Utilizando o princípio da superposição, obtenha a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
Essa questão faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o princípio da superposição, que permite encontrar a solução geral combinando soluções individuais da equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma forma simplificada que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. Para a equação:
substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ por 1, formando assim a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $.
Substituindo os valores:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas ($ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $), podemos escrever as soluções individuais da equação diferencial:
Passo 5
Segundo o princípio da superposição, para equações diferenciais lineares homogêneas, a solução geral é uma combinação linear das soluções individuais. Então, a solução geral da equação é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes.