Considere a equação diferencial:
y^prime prime-y^prime-2 y=0
c) Utilizando o princípio da superposição, obtenha a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
y'' - y' - 2y = 0
Essa questão faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o princípio da superposição, que permite encontrar a solução geral combinando soluções individuais da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma forma simplificada que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. Para a equação:
y'' - y' - 2y = 0,
substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ por 1, formando assim a equação característica:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0
Para resolver isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a,
onde $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $.
Substituindo os valores:
a = 1
Portanto, as raízes são:
b = -1

Passo 4

Com as raízes encontradas ($ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $), podemos escrever as soluções individuais da equação diferencial:
r1 = 2

Passo 5

Segundo o princípio da superposição, para equações diferenciais lineares homogêneas, a solução geral é uma combinação linear das soluções individuais. Então, a solução geral da equação é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes.

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