Considere as funções:
y1(t)=e^2 t e y2(t)=e^-t
a) Calcule o Wronskiano W(y1, y2)(t) definido por
W(y1, y2)(t)=|ll y1(t) & y2(t) y1^prime(t) & y2^prime(t) |

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra calcular o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano é uma ferramenta que a gente usa em cálculo para verificar se duas funções são linearmente independentes, o que é super útil em várias áreas, como na resolução de equações diferenciais. As funções que a gente vai trabalhar são:
y1(t)=e^2 t e y2(t)=e^-t
Vamos precisar lembrar como calcular derivadas e como montar determinantes para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano $ W(y_1, y_2)(t) $ é definido por:
y1(t)
Isso significa que a gente monta uma matriz 2x2 com as funções e suas derivadas e então calcula o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos lá, primeiro precisamos das derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
Para $ y_{1}(t) = e^{2t} $, a derivada em relação a $ t $ é:
y1(t)
Para $ y_{2}(t) = e^{-t} $, a derivada é:
y2(t)

Passo 4

Agora que temos as funções e suas derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano:
W(y1, y2)(t) = e^2t & e^-t 2e^2t & -e^-t

Passo 5

Para calcular o determinante dessa matriz 2x2, usamos a fórmula:
a & b c & d = ad - bc
Aplicando isso à nossa matriz:
W(y1, y2)(t) = (e^2t)(-e^-t) - (e^-t)(2e^2t)

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo: $ e^{2t} \times (-e^{-t}) = -e^{2t - t} = -e^{t} $.
  • Segundo termo: $ e^{-t} \times 2e^{2t} = 2e^{-t + 2t} = 2e^{t} $.
Então, substituindo de volta:
e^2t times (-e^-t) = -e^2t - t = -e^t

Resposta

O Wronskiano das funções é $ W(y_{1}, y_{2})(t) = -3e^{t} $.

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