Considere as funções:
a) Calcule o Wronskiano
definido por
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra calcular o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano é uma ferramenta que a gente usa em cálculo para verificar se duas funções são linearmente independentes, o que é super útil em várias áreas, como na resolução de equações diferenciais. As funções que a gente vai trabalhar são:
Vamos precisar lembrar como calcular derivadas e como montar determinantes para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano $ W(y_1, y_2)(t) $ é definido por:
Isso significa que a gente monta uma matriz 2x2 com as funções e suas derivadas e então calcula o determinante dessa matriz.
Passo 3
Vamos lá, primeiro precisamos das derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
Para $ y_{1}(t) = e^{2t} $, a derivada em relação a $ t $ é:
Para $ y_{2}(t) = e^{-t} $, a derivada é:
Passo 4
Agora que temos as funções e suas derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano:
Passo 5
Para calcular o determinante dessa matriz 2x2, usamos a fórmula:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo: $ e^{2t} \times (-e^{-t}) = -e^{2t - t} = -e^{t} $.
- Segundo termo: $ e^{-t} \times 2e^{2t} = 2e^{-t + 2t} = 2e^{t} $.
Então, substituindo de volta:
Resposta
O Wronskiano das funções é $ W(y_{1}, y_{2})(t) = -3e^{t} $.