Em uma prova de Estatística, 12 alunos de uma classe conseguiram média 7,8 e desvio padrão 0,6 , ao passo que 15 alunos de outra turma, do mesmo curso, conseguiram média 7,4 com desvio padrão 0,8 . Considerando distribuições normais para as notas verificar se o primeiro grupo é superior ao segundo, ao nível de 5 \%.

Passo 1

Resumindo, temos duas amostras independentes de notas que se supõem normais:
– Grupo 1: n_1=12, média \overline{x}_1=7,8, desvio padrão s_1=0,6.
– Grupo 2: n_2=15, média \overline{x}_2=7,4, desvio padrão s_2=0,8.
Queremos testar, ao nível de significância \alpha=5\%, se a média do primeiro grupo é maior que a do segundo, ou seja,
H_0:\mu_1=\mu_2 \quad\text{vs.}\quad H_a:\mu_1>\mu_2.
Como as variâncias são desconhecidas e possivelmente diferentes, usaremos o teste t de Welch.

Passo 2

Definimos a estatística de teste
t = \frac{\overline{x}_1 - \overline{x}_2} {\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Aqui s_1^2=0,6^2=0,36 e s_2^2=0,8^2=0,64.

Passo 3

Calculamos o erro padrão combinado:
\text{se} = \sqrt{\frac{0,36}{12} + \frac{0,64}{15}} = \sqrt{0,03 + 0,042666\ldots} \approx 0,2696.
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t = \frac{7,8 - 7,4}{0,2696} \approx \frac{0,4}{0,2696} \approx 1,48.

Passo 4

Para o teste de Welch, os graus de liberdade aproximados são
\nu \approx \frac{\bigl(\tfrac{s_1^2}{n_1} + \tfrac{s_2^2}{n_2}\bigr)^{2}} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^{2}}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^{2}}{n_2-1}} = \frac{(0,072667)^{2}} {\tfrac{0,03^{2}}{11} + \tfrac{0,042667^{2}}{14}} \approx 25.

Passo 5

Para \alpha=0,05 num teste unilateral à direita com \nu\approx25, o valor crítico é
t_{0,95;25}\approx 1,708.
Como nosso t\approx1,48 é menor que 1,708, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência estatística, ao nível de 5 %, de que a média do primeiro grupo seja superior à do segundo.

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