Um fabricante de pneus produz dois tipos de pneumáticos. Para o tipo A, \sigma_{A}=2.500 milhas e para o tipo \mathrm{B}, \sigma_{B}=3.000 milhas. Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24.000 milhas e 26.000 milhas de duração média dos respctivos tipos. Adotando um risco \propto de 4 \% teste a hipótese de que a vida média dos tipos de pneus é a mesma.

Passo 1

O enunciado apresenta dois tipos de pneus com desvios‐padrão populacionais conhecidos: para o tipo A \sigma_{A}=2500 milhas e para o tipo B \sigma_{B}=3000 milhas. Testamos n_{A}=50 pneus do tipo A e n_{B}=40 do tipo B, obtendo médias \bar{X}_{A}=24000 e \bar{X}_{B}=26000 milhas, respectivamente. Queremos, ao nível de significância \alpha=0,04, testar a igualdade das vidas médias ( \mu_{A}=\mu_{B}) usando o teste z para a diferença de médias com variâncias conhecidas.

Passo 2

Formulamos as hipóteses
H_{0}:\mu_{A}-\mu_{B}=0 \quad\text{e}\quad H_{1}:\mu_{A}-\mu_{B}\neq0.
Calculamos o erro‐padrão da diferença de médias:
\sigma_{\bar{X}_{A}-\bar{X}_{B}} =\sqrt{\frac{\sigma_{A}^{2}}{n_{A}}+\frac{\sigma_{B}^{2}}{n_{B}}} =\sqrt{\frac{2500^{2}}{50}+\frac{\sigma_{B}^{2}}{40}} =\sqrt{125000+225000} =\sqrt{350000}\approx591{,}6.

Passo 3

O estatístico de teste z fica
z =\frac{\bar{X}_{A}-\bar{X}_{B}}{\sigma_{\bar{X}_{A}-\bar{X}_{B}}} =\frac{24000-26000}{591{,}6} \approx\frac{-2000}{591{,}6} \approx-3{,}38.
Para \alpha=0,04 em teste bilateral, o ponto‐crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,98}\approx2{,}054,
logo rejeitamos H_{0} se \lvert z\rvert>2{,}054.

Passo 4

Como \lvert z\rvert\approx3{,}38>2{,}054, rejeitamos H_{0}. Há evidência significativa de que as vidas médias dos pneus A e B são diferentes ao nível de 4\%.

Resposta

Rejeita‐se H_{0}; as vidas médias dos pneus A e B não são iguais.

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