Como provar que uma linguagem é regular?

Passo 1

O problema geral é: dado um alfabeto \Sigma e uma linguagem L\subseteq\Sigma^*, como provar que L é regular? Vamos usar as quatro definições equivalentes de linguagens regulares — autômatos finitos, expressões regulares, propriedades de fechamento e o teorema de Myhill–Nerode — para estruturar as formas de demonstração.

Passo 2

Construção de autômato finito (DFA ou NFA):
  1. Identifique qual informação sobre a palavra precisa ser “lembrada” enquanto lemos a string (por exemplo, paridade de símbolos, sufixo lido, contagem módulo k, etc.).
  2. Modele cada possível valor dessa informação como um estado.
  3. Defina a função de transição movendo-se de estado em estado conforme lemos cada símbolo.
  4. Escolha o estado inicial e os estados finais de modo que o autômato aceite exatamente as palavras de L.
    Se essa construção for bem-sucedida, então L é regular por definição.

Passo 3

Construção de expressão regular:
  1. Analise a forma geral das cadeias em L, por exemplo “qualquer número de a seguido de um b e depois zero ou mais c”.
  2. Escreva um padrão em termos de união (\cup), concatenação e estrela de Kleene (*) que gere exatamente essas cadeias.
  3. Mostre que a linguagem da expressão regular \alpha, notada L(\alpha), coincide com L.
    Como toda expressão regular denota uma linguagem regular e vice-versa, isso prova que L é regular.

Passo 4

Uso de propriedades de fechamento:
  1. Separe L em operações sobre linguagens já conhecidas como regulares (por exemplo, \{a\}^*,\{b\}^*,\{a,b\}^*, etc.).
  2. Obtenha L a partir dessas linguagens regulares usando união, concatenação, estrela, complemento ou interseção.
  3. Como o conjunto das linguagens regulares é fechado sob essas operações, conclui-se que L é regular.

Passo 5

Aplicação do teorema de Myhill–Nerode:
  1. Defina a relação de equivalência para x,y\in\Sigma^* por
x \equiv_L y \quad\Longleftrightarrow\quad \forall z\in\Sigma^*,\; xz\in L \Leftrightarrow yz\in L.
  1. Mostre que essa relação tem número finito de classes de equivalência.
  2. Pelo teorema de Myhill–Nerode, finitude de classes implica que existe um DFA de número finito de estados reconhecendo L, ou seja, L é regular.

Resposta

Para provar que uma linguagem L é regular, você pode escolher uma destas estratégias equivalentes:
– Construir um autômato finito (DFA/NFA) que reconheça L.
– Exibir uma expressão regular \alpha tal que L(\alpha)=L.
– Demonstrar que L resulta de operações de fechamento (união, concatenação, estrela, complemento, interseção) sobre linguagens regulares conhecidas.
– Aplicar o teorema de Myhill–Nerode e mostrar que a relação \equiv_L tem número finito de classes.

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