Como provar que uma linguagem é regular?
Passo 1
O problema geral é: dado um alfabeto
e uma linguagem
, como provar que
é regular? Vamos usar as quatro definições equivalentes de linguagens regulares — autômatos finitos, expressões regulares, propriedades de fechamento e o teorema de Myhill–Nerode — para estruturar as formas de demonstração.
Passo 2
Construção de autômato finito (DFA ou NFA):
- Identifique qual informação sobre a palavra precisa ser “lembrada” enquanto lemos a string (por exemplo, paridade de símbolos, sufixo lido, contagem módulo
, etc.). - Modele cada possível valor dessa informação como um estado.
- Defina a função de transição movendo-se de estado em estado conforme lemos cada símbolo.
- Escolha o estado inicial e os estados finais de modo que o autômato aceite exatamente as palavras de
.
Se essa construção for bem-sucedida, entãoé regular por definição.
Passo 3
Construção de expressão regular:
- Analise a forma geral das cadeias em
, por exemplo “qualquer número de seguido de um e depois zero ou mais ”. - Escreva um padrão em termos de união
, concatenação e estrela de Kleene que gere exatamente essas cadeias. - Mostre que a linguagem da expressão regular
, notada , coincide com .
Como toda expressão regular denota uma linguagem regular e vice-versa, isso prova queé regular.
Passo 4
Uso de propriedades de fechamento:
- Separe
em operações sobre linguagens já conhecidas como regulares (por exemplo, , etc.). - Obtenha
a partir dessas linguagens regulares usando união, concatenação, estrela, complemento ou interseção. - Como o conjunto das linguagens regulares é fechado sob essas operações, conclui-se que
é regular.
Passo 5
Aplicação do teorema de Myhill–Nerode:
- Defina a relação de equivalência para
por
- Mostre que essa relação tem número finito de classes de equivalência.
- Pelo teorema de Myhill–Nerode, finitude de classes implica que existe um DFA de número finito de estados reconhecendo
, ou seja, é regular.
Resposta
Para provar que uma linguagem
é regular, você pode escolher uma destas estratégias equivalentes:
– Construir um autômato finito (DFA/NFA) que reconheça .
– Exibir uma expressão regular tal que
.
– Demonstrar que resulta de operações de fechamento (união, concatenação, estrela, complemento, interseção) sobre linguagens regulares conhecidas.
– Aplicar o teorema de Myhill–Nerode e mostrar que a relação tem número finito de classes.
– Construir um autômato finito (DFA/NFA) que reconheça
– Exibir uma expressão regular
– Demonstrar que
– Aplicar o teorema de Myhill–Nerode e mostrar que a relação