Provar que:
\quad n!>n^{3}, para todo n \geq 6.

Passo 1

O que o problema pede: provar que a desigualdade
n!>n^{3}
é verdadeira para todo n\ge 6.
Informações dadas / úteis:
  • Por definição, \,n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • Queremos mostrar que esse produto é maior que o cubo de n quando n é pelo menos 6.
  • Não há outros dados; a tarefa é uma prova para todos os inteiros n\ge 6.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a técnica de indução matemática. Indução é apropriada quando queremos provar uma propriedade para todos os inteiros a partir de um certo ponto (aqui 6). A ideia é:
  1. Mostrar que a propriedade vale para o primeiro valor n=6 (caso base).
  2. Mostrar que, se vale para um k\ge 6, então vale para k+1 (passo indutivo).

Passo 3

Caso base n=6. Calculemos os dois lados:
6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720,
6^{3} = 6\cdot6\cdot6 = 216.
Como 720>216, temos 6!>6^{3}. Portanto a propriedade é verdadeira para n=6.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro k\ge 6 vale
k!>k^{3}.
A partir disso queremos provar que também vale
(k+1)!>(k+1)^{3}.

Passo 5

Exprima (k+1)! em função de k!:
(k+1)!=(k+1)\,k!.
Usando a hipótese de indução k!>k^{3} e lembrando que k+1>0, obtemos
(k+1)! = (k+1)k! > (k+1)k^{3}.
Aqui usamos a propriedade: multiplicar os dois lados de uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade.

Passo 6

Queremos comparar (k+1)k^{3} com (k+1)^{3}. Como k+1>0, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por k+1 sem mudar o sinal. Assim é suficiente mostrar
k^{3}>(k+1)^{2}.

Passo 7

Mostramos k^{3}>(k+1)^{2} para todo k\ge 6 avaliando a diferença:
k^{3}-(k+1)^{2} = k^{3}-\bigl(k^{2}+2k+1\bigr)=k^{2}(k-1)-2k-1.
Para k\ge 6 temos k^{2}(k-1)\ge 6^{2}\cdot(6-1)=36\cdot5=180 e também 2k+1\le 2\cdot6+1=13. Portanto
k^{3}-(k+1)^{2} \ge 180-13=167>0.
Logo k^{3}>(k+1)^{2} quando k\ge 6.

Passo 8

Com k^{3}>(k+1)^{2} concluímos que (k+1)k^{3}>(k+1)(k+1)^{2}=(k+1)^{3}. Juntando com o que obtivemos no Passo 5,
(k+1)! > (k+1)k^{3} > (k+1)^{3}.
Assim, se a propriedade vale para k então vale para k+1.

Passo 9

Conclusão por indução: como a propriedade é verdadeira para n=6 (Passo 3) e o passo indutivo foi mostrado (Passos 4–8), segue que a desigualdade
n!>n^{3}
vale para todo inteiro n\ge 6. Força aí — o fatorial cresce rápido mesmo!

Resposta

\forall n\ge 6,\; n!>n^{3}.

Exercícios relacionados