Provar que:
, para todo
.
Passo 1
O que o problema pede: provar que a desigualdade
é verdadeira para todo
.
Informações dadas / úteis:
- Por definição,
. - Queremos mostrar que esse produto é maior que o cubo de
quando é pelo menos . - Não há outros dados; a tarefa é uma prova para todos os inteiros
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a técnica de indução matemática. Indução é apropriada quando queremos provar uma propriedade para todos os inteiros a partir de um certo ponto (aqui
). A ideia é:
- Mostrar que a propriedade vale para o primeiro valor
(caso base). - Mostrar que, se vale para um
, então vale para (passo indutivo).
Passo 3
Caso base
. Calculemos os dois lados:
Como
, temos
. Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro
vale
A partir disso queremos provar que também vale
Passo 5
Exprima
em função de
:
Usando a hipótese de indução
e lembrando que
, obtemos
Aqui usamos a propriedade: multiplicar os dois lados de uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade.
Passo 6
Queremos comparar
com
. Como
, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por
sem mudar o sinal. Assim é suficiente mostrar
Passo 7
Mostramos
para todo
avaliando a diferença:
Para
temos
e também
. Portanto
Logo
quando
.
Passo 8
Com
concluímos que
. Juntando com o que obtivemos no Passo 5,
Assim, se a propriedade vale para
então vale para
.
Passo 9
Conclusão por indução: como a propriedade é verdadeira para
(Passo 3) e o passo indutivo foi mostrado (Passos 4–8), segue que a desigualdade
vale para todo inteiro
. Força aí — o fatorial cresce rápido mesmo!