Provar que:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
inteiro com
, vale a desigualdade
Informações dadas/implícitas que vamos usar:
-
é um inteiro (natural) e . -
é o fatorial de . -
é a potência de expoente zero de .
Passo 2
Definições e observações básicas (explicação didática):
- Por definição, para inteiro positivo
temos
Isto significa que
é o produto dos inteiros positivos de
até
.
- Para qualquer número inteiro
diferente de zero, pela regra dos expoentes temos
Uma justificativa simples: para
,
e claramente
, logo
. Como aqui
e portanto
, vale
.
Passo 3
Verificação do caso inicial (base da indução):
Calculemos explicitamente para :
Calculemos explicitamente para
e
Logo
. O enunciado é verdadeiro para
.
Passo 4
Observação sobre crescimento do fatorial (intuição usada na prova):
Para temos
. Se
e
então o produto
. Essa propriedade mostra que, a partir de algum ponto em que o fatorial já é maior que
, todos os fatoriais seguintes também serão maiores que
.
Para
Passo 5
Prova por indução sobre
(passo a passo):
- Hipótese de indução: suponha que para algum inteiro
já temos . Como explicado em Passo 2, , então a hipótese é . - Passo indutivo: considere
. Temos
Pelo passo anterior
e, como
, tem-se
. Portanto o produto de dois números maiores que
é maior que
, isto é
Mas
, então concluímos
.
- Assim, por indução matemática, a desigualdade vale para todo inteiro
.
Passo 6
Observação alternativa (provedora de intuição rápida):
Uma maneira ainda mais direta: para temos
Uma maneira ainda mais direta: para
logo
para todo
. Como
, segue imediatamente
.