Provar que:
n!>n^{0}, para todo n \geq 4.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n inteiro com n\geq4, vale a desigualdade
n! > n^{0}.
Informações dadas/implícitas que vamos usar:
  • n é um inteiro (natural) e n\geq4.
  • n! é o fatorial de n.
  • n^{0} é a potência de expoente zero de n.

Passo 2

Definições e observações básicas (explicação didática):
  • Por definição, para inteiro positivo n temos
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
Isto significa que n! é o produto dos inteiros positivos de 1 até n.
  • Para qualquer número inteiro a diferente de zero, pela regra dos expoentes temos
a^{0} = 1.
Uma justificativa simples: para m\ge 1,
a^{m}/a^{m} = a^{m-m}=a^{0},
e claramente a^{m}/a^{m}=1, logo a^{0}=1. Como aqui n\ge 4 e portanto n\neq0, vale n^{0}=1.

Passo 3

Verificação do caso inicial (base da indução):
Calculemos explicitamente para n=4:
4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24
e
4^{0} = 1.
Logo 4! = 24 > 1 = 4^{0}. O enunciado é verdadeiro para n=4.

Passo 4

Observação sobre crescimento do fatorial (intuição usada na prova):
Para m\ge 1 temos (m+1)! = (m+1)\cdot m!. Se m+1>1 e m!>1 então o produto (m+1)\cdot m!>1. Essa propriedade mostra que, a partir de algum ponto em que o fatorial já é maior que 1, todos os fatoriais seguintes também serão maiores que 1.

Passo 5

Prova por indução sobre n (passo a passo):
  • Hipótese de indução: suponha que para algum inteiro k\geq4 já temos k!>k^{0}. Como explicado em Passo 2, k^{0}=1, então a hipótese é k!>1.
  • Passo indutivo: considere k+1. Temos
(k+1)! = (k+1)\cdot k!.
Pelo passo anterior k!>1 e, como k\ge4, tem-se k+1\ge5>1. Portanto o produto de dois números maiores que 1 é maior que 1, isto é
(k+1)! = (k+1)\cdot k! > 1.
Mas (k+1)^{0}=1, então concluímos (k+1)! > (k+1)^{0}.
  • Assim, por indução matemática, a desigualdade vale para todo inteiro n\ge4.

Passo 6

Observação alternativa (provedora de intuição rápida):
Uma maneira ainda mais direta: para n\ge4 temos
n! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot 5\cdots n \ge 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24,
logo n! \ge 24 para todo n\ge4. Como n^{0}=1, segue imediatamente n!>n^{0}.

Resposta

n!>n^{0} para todo n\geq4.

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