Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica no intervalo
:
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A desigualdade é
. - O domínio onde buscamos soluções é
.
Nada mais será resolvido aqui — apenas identifiquei o pedido e os dados.
Passo 2
Vamos reescrever a soma
numa forma mais conveniente. Uma identidade útil é
Como
, multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto é, fizemos a combinação linear
como uma amplitude
vezes um seno com fase deslocada. Essa transformação é padrão e muito útil: qualquer combinação
pode ser escrita como
com
.
Passo 3
Substituindo na inequação inicial temos
Como
, podemos dividir por
sem inverter o sentido da desigualdade:
Observe que
. Então a inequação fica
Passo 4
Para resolver
é conveniente definir
. Primeiro determinamos o intervalo de
correspondente a
:
Portanto
varia em
.
Passo 5
Agora analisamos a desigualdade
. Conhecemos os pontos em que
: são
No intervalo padrão
a função seno é maior que
apenas no intervalo aberto
. Ou seja, em cada período
temos:
Então, para nosso
, os trechos onde a desigualdade NÃO vale (i.e. onde
) são exatamente as interseções com os intervalos
e
(correspondendo a
e
). Portanto dentro de
a solução para
é:
Observação: os endpoints são incluídos porque a desigualdade permite igualdade (onde
).
Passo 6
Voltamos de
para
usando
. Fazendo essa transformação em cada parte encontrada:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Reunindo os pedaços, a solução no intervalo
é a união:
Você pode checar alguns pontos: por exemplo
dá
(igualdade válida); um ponto entre
e
, por exemplo
, dá
(logo é excluído), e um ponto como
dá
(incluído). Bom trabalho — está servido de mapa para resolver problemas semelhantes na prova!