Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\operatorname{sen} 2 x+\cos 2 x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica no intervalo 0 \le x \le 2\pi:
\operatorname{sen} 2x + \cos 2x \le 1.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A desigualdade é \operatorname{sen} 2x + \cos 2x \le 1.
  • O domínio onde buscamos soluções é 0 \le x \le 2\pi.
    Nada mais será resolvido aqui — apenas identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Vamos reescrever a soma \operatorname{sen} 2x + \cos 2x numa forma mais conveniente. Uma identidade útil é
\operatorname{sen}(2x+\tfrac{\pi}{4})=\operatorname{sen} 2x\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos 2x\sin\tfrac{\pi}{4}.
Como \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} obtemos
\sqrt{2}\,\operatorname{sen}(2x+\tfrac{\pi}{4})=\operatorname{sen} 2x+\cos 2x.
Isto é, fizemos a combinação linear \operatorname{sen} 2x+\cos 2x como uma amplitude \sqrt{2} vezes um seno com fase deslocada. Essa transformação é padrão e muito útil: qualquer combinação A\operatorname{sen}\theta+B\cos\theta pode ser escrita como R\operatorname{sen}(\theta+\varphi) com R=\sqrt{A^2+B^2}.

Passo 3

Substituindo na inequação inicial temos
\sqrt{2}\,\operatorname{sen}(2x+\tfrac{\pi}{4}) \le 1.
Como \sqrt{2}>0, podemos dividir por \sqrt{2} sem inverter o sentido da desigualdade:
\operatorname{sen}(2x+\tfrac{\pi}{4}) \le \frac{1}{\sqrt{2}}.
Observe que \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então a inequação fica
\operatorname{sen}(2x+\tfrac{\pi}{4}) \le \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Para resolver \operatorname{sen} t \le \tfrac{\sqrt{2}}{2} é conveniente definir t=2x+\tfrac{\pi}{4}. Primeiro determinamos o intervalo de t correspondente a x\in[0,2\pi]:
\text{se } x=0 \Rightarrow t=\tfrac{\pi}{4},\qquad \text{se } x=2\pi \Rightarrow t=4\pi+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{17\pi}{4}.
Portanto t varia em [\,\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{17\pi}{4}\,].

Passo 5

Agora analisamos a desigualdade \operatorname{sen} t \le \tfrac{\sqrt{2}}{2}. Conhecemos os pontos em que \operatorname{sen} t=\tfrac{\sqrt{2}}{2}: são
t=\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\quad\text{e}\quad t=\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo padrão [0,2\pi) a função seno é maior que \tfrac{\sqrt{2}}{2} apenas no intervalo aberto (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}). Ou seja, em cada período 2\pi temos:
\operatorname{sen} t \le \tfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad t\notin\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi).
Então, para nosso t\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}], os trechos onde a desigualdade NÃO vale (i.e. onde \operatorname{sen} t>\tfrac{\sqrt{2}}{2}) são exatamente as interseções com os intervalos (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}) e (\tfrac{9\pi}{4},\tfrac{11\pi}{4}) (correspondendo a k=0 e k=1). Portanto dentro de [\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}] a solução para t é:
t=\tfrac{\pi}{4}\quad\text{ou}\quad t\in[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{9\pi}{4}]\quad\text{ou}\quad t\in[\tfrac{11\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}].
Observação: os endpoints são incluídos porque a desigualdade permite igualdade (onde \operatorname{sen} t=\tfrac{\sqrt{2}}{2}).

Passo 6

Voltamos de t para x usando x=\dfrac{t-\pi/4}{2}. Fazendo essa transformação em cada parte encontrada:
  1. Para t=\tfrac{\pi}{4}:
x=\frac{\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}}{2}=0.
  1. Para t\in[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{9\pi}{4}]:
x\in\left[\frac{\tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}}{2},\,\frac{\tfrac{9\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}}{2}\right] =\left[\frac{\tfrac{2\pi}{4}}{2},\,\frac{\tfrac{8\pi}{4}}{2}\right] =\left[\frac{\pi}{4},\,\pi\right].
  1. Para t\in[\tfrac{11\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}]:
x\in\left[\frac{\tfrac{11\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}}{2},\,\frac{\tfrac{17\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}}{2}\right] =\left[\frac{\tfrac{10\pi}{4}}{2},\,\frac{\tfrac{16\pi}{4}}{2}\right] =\left[\frac{5\pi}{4},\,2\pi\right].

Passo 7

Reunindo os pedaços, a solução no intervalo 0\le x\le 2\pi é a união:
x=0,\qquad x\in\bigl[\tfrac{\pi}{4},\pi\bigr],\qquad x\in\bigl[\tfrac{5\pi}{4},2\pi\bigr].
Você pode checar alguns pontos: por exemplo x=0 \sen0+\cos0=1 (igualdade válida); um ponto entre 0 e \pi/4, por exemplo x=\tfrac{\pi}{8}, dá \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{4}+\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}>1 (logo é excluído), e um ponto como x=\pi/2 \operatorname{sen}\pi+\cos\pi=0-1=-1\le 1 (incluído). Bom trabalho — está servido de mapa para resolver problemas semelhantes na prova!

Resposta

x\in\{0\}\cup\bigl[\tfrac{\pi}{4},\pi\bigr]\cup\bigl[\tfrac{5\pi}{4},2\pi\bigr]

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