Provar que, Z[i] não é corpo. Além disso, determinar todos os elementos invertíveis de Z[i].

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
  1. Mostrar que o anel dos inteiros gaussianos não é um corpo.
  2. Determinar todos os elementos invertíveis (ou unidades) desse anel.
Conteúdo que precisamos sacar:
  • Definição de corpo (field) e de unidade em um anel.
  • O que é .
  • A norma em , que vai nos ajudar a “medir” elementos e achar inversos.

Passo 2

Primeiro, o que é ?
É o conjunto com operações de soma e produto normais de números complexos.
Lembra que em um corpo todo elemento não-zero tem inverso multiplicativo dentro do mesmo conjunto. Então, para mostrar que não é corpo, basta encontrar um elemento que não tenha inverso em .

Passo 3

Para descobrir quem tem inverso e quem não tem, a gente usa a norma:
N(a+bi)=a^2+b^2
Propriedade chave:
N(z,w)=N(z),N(w),
para quaisquer N(u),N(v)=N(u,v)=N(1)=1 .
Se N(u)=1e N(v)=1 for invertível em , existe tal que . Aí aplicamos a norma:
Como e são inteiros não negativos, a única forma de multiplicar para dar 1 é

Passo 4

Então todo invertível a^2+b^2=1 deve satisfazer
1,;-1,;i,;-i
Quais pares inteiros resolvem isso?
Logo os únicos candidatos a unidades são

Passo 5

Pra fechar de vez que não é corpo: basta ver que, por exemplo, o elemento não está nessa lista de unidades. Então não tem inverso em . Isso já quebra a condição de “todo não-zero é invertível”.

Resposta

;1,;-1,;i,;-i não é corpo porque nem todo elemento não-zero tem inverso (por exemplo não dá para inverter dentro de ).
Os elementos invertíveis (unidades) de são exatamente

Exercícios relacionados