Provar que,
não é corpo. Além disso, determinar todos os elementos invertíveis de
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas:
- Mostrar que o anel dos inteiros gaussianos
não é um corpo. - Determinar todos os elementos invertíveis (ou unidades) desse anel.
Conteúdo que precisamos sacar:
- Definição de corpo (field) e de unidade em um anel.
- O que é
. - A norma em
, que vai nos ajudar a “medir” elementos e achar inversos.
Passo 2
Primeiro, o que é
?
É o conjunto com operações de soma e produto normais de números complexos.
É o conjunto
Lembra que em um corpo todo elemento não-zero tem inverso multiplicativo dentro do mesmo conjunto. Então, para mostrar que
não é corpo, basta encontrar um elemento
que não tenha inverso em
.
Passo 3
Para descobrir quem tem inverso e quem não tem, a gente usa a norma:
Propriedade chave:
para quaisquer
.
Se
for invertível em
, existe
tal que
. Aí aplicamos a norma:
Como
e
são inteiros não negativos, a única forma de multiplicar para dar 1 é
Passo 4
Então todo invertível
deve satisfazer
Quais pares inteiros resolvem isso?
Logo os únicos candidatos a unidades são
Passo 5
Pra fechar de vez que não é corpo: basta ver que, por exemplo, o elemento
não está nessa lista de unidades. Então
não tem inverso em
. Isso já quebra a condição de “todo não-zero é invertível”.
Resposta
Os elementos invertíveis (unidades) de