Seja Zn=0, 1, ldots, n-1.
Identifique todos os invertíveis de Z7 e de Z10. Justifique!

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente listar todos os elementos “invertíveis” (ou unidades) em Z7 e em Z10.
Conteúdo: teoria de anéis bmod;n, definição de elemento invertível e uso de máximo divisor comum (mdc).
O que precisamos:
  • Saber que em Zn um elemento a é invertível se existe b com a,b=1.
  • Usar o critério: a é invertível em Zn se, e somente se, gcd(a,n)=1.

Passo 2

Definição e critério de invertibilidade:
  1. Na aritmética modular, a é invertível em Zn quando existe b tal que a,b=1(mod n)
    2. Teorema chave: isso rola exatamente quando gcd(a,n)=1.
    - Se gcd(a,n)=d>1, qualquer produto de a por outro número ainda vai ser múltiplo de d, nunca dá 1.
    - Se gcd(a,n)=1, pelas propriedades de números inteiros existe combinação linear que gera 1 (teorema de Bézout), daí vem o inverso.

Passo 3

Vamos em Z7. Aqui n=7, que é primo.
  • Para todo ain1,2,3,4,5,6 temos gcd(a,7)=1 (primo não divide nenhum desses).
  • Logo, todos esses a são invertíveis.
  • O único que não conta é 0, pois gcd(0,7)=7neq1.

Passo 4

Agora em Z10, com n=10=2cdot5. Precisamos verificar gcd(a,10)=1 para cada ain0,1,dots,9.
  • gcd(0,10)=10neq1 → não.
  • gcd(1,10)=1 1 é invertível.
  • gcd(2,10)=2neq1 → não.
  • gcd(3,10)=1 3 é invertível.
  • gcd(4,10)=2neq1 → não.
  • gcd(5,10)=5neq1 → não.
  • gcd(6,10)=2neq1 → não.
  • gcd(7,10)=1 7 é invertível.
  • gcd(8,10)=2neq1 → não.
  • gcd(9,10)=1 9 é invertível.

Resposta

Em Z7 os elementos invertíveis são
1,2,3,4,5,6
Em Z10 os elementos invertíveis são
$

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