Seja .
Identifique todos os invertíveis de Z7 e de Z10. Justifique!
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente listar todos os elementos “invertíveis” (ou unidades) em Z7 e em Z10.
Conteúdo: teoria de anéis bmod;n, definição de elemento invertível e uso de máximo divisor comum (mdc).
O que precisamos:
Saber que em Zn um elemento a é invertível se existe b com a,b=1.
Usar o critério: a é invertível em Zn se, e somente se, gcd(a,n)=1.
Passo 2
Definição e critério de invertibilidade:
Na aritmética modular, a é invertível em Zn quando existe b tal quea,b=1(mod n)
2. Teorema chave: isso rola exatamente quando gcd(a,n)=1.
- Se gcd(a,n)=d>1, qualquer produto de a por outro número ainda vai ser múltiplo de d, nunca dá 1.
- Se gcd(a,n)=1, pelas propriedades de números inteiros existe combinação linear que gera 1 (teorema de Bézout), daí vem o inverso.
Passo 3
Vamos em Z7. Aqui n=7, que é primo.
Para todo ain1,2,3,4,5,6 temos gcd(a,7)=1 (primo não divide nenhum desses).
Logo, todos esses a são invertíveis.
O único que não conta é 0, pois gcd(0,7)=7neq1.
Passo 4
Agora em Z10, com n=10=2cdot5. Precisamos verificar gcd(a,10)=1 para cada ain0,1,dots,9.