Seja a função
dada por
. Provar que,
é um homomorfismo injetivo de anéis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
é um homomorfismo de anéis injetivo.
Conteúdo principal: definição de anel, produto de anéis, homomorfismo de anéis (preserva soma, produto e unidade) e injeção. Vamos usar de base as regras de operações em (soma e produto coordenada a coordenada) e a definição de homomorfismo.
Conteúdo principal: definição de anel, produto de anéis, homomorfismo de anéis (preserva soma, produto e unidade) e injeção. Vamos usar de base as regras de operações em
Passo 2
Verificar que
preserva a soma.
Em , a soma é
.
Então, para quaisquer :
Em
Então, para quaisquer
e
Logo
Passo 3
Verificar que
preserva o produto.
Em , o produto é
.
Para :
Em
Para
e
Logo
Passo 4
Verificar que
leva a unidade de
na unidade de
.
A unidade em é
e, em
, é
.
A unidade em
que é exatamente a unidade de
.
Passo 5
Mostrar que
é injetiva.
Precisamos provar que, se , então
.
Precisamos provar que, se
Portanto,
não envia dois inteiros diferentes para o mesmo par.
Resposta
A aplicação
é de fato um homomorfismo de anéis (preserva soma, produto e unidade) e é injetiva.