Seja a função F: Z Z times Z dada por F(a)=(a, a). Provar que, F é um homomorfismo injetivo de anéis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
Fcolon Zto ZtimesZ, F(a)=(a,a)
é um homomorfismo de anéis injetivo.
Conteúdo principal: definição de anel, produto de anéis, homomorfismo de anéis (preserva soma, produto e unidade) e injeção. Vamos usar de base as regras de operações em (soma e produto coordenada a coordenada) e a definição de homomorfismo.

Passo 2

Verificar que F(a+b) = (,a+b,;a+b,) preserva a soma.
Em F(a)+F(b) = (a,a)+(b,b) = (a+b,;a+b) , a soma é F(a+b)=F(a)+F(b) .
Então, para quaisquer :
e
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Passo 3

Verificar que F(ab) = (,ab,;ab,) preserva o produto.
Em F(a)cdot F(b) = (a,a)cdot(b,b) = (ab,;ab) , o produto é F(ab)=F(a),F(b) .
Para :
e
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Passo 4

Verificar que F(1)=(1,1), leva a unidade de na unidade de .
A unidade em é e, em , é .
que é exatamente a unidade de .

Passo 5

Mostrar que F(a)=F(b) ;Longrightarrow; (a,a)=(b,b) ;Longrightarrow; a=b é injetiva.
Precisamos provar que, se , então .
Portanto, não envia dois inteiros diferentes para o mesmo par.

Resposta

A aplicação é de fato um homomorfismo de anéis (preserva soma, produto e unidade) e é injetiva.

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