(OBM/2016) As raízes de um polinômio P, de coeficientes inteiros e grau 10, são todas inteiras e distintas. Então todo valor não nulo de \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n} inteiro, tem, no mínimo, quantos divisores positivos?

Passo 1

O enunciado diz que P é um polinômio de grau 10, com coeficientes inteiros e raízes inteiras e distintas, digamos
P(x)=a\,(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_{10}),
com r_i\in\mathbb{Z} e r_i\neq r_j para i\neq j. Queremos mostrar que, para todo inteiro n tal que P(n)\neq0, o número de divisores positivos de P(n) é pelo menos um certo valor mínimo, e encontrar esse mínimo.

Passo 2

Observe que, para n\in\mathbb{Z},
P(n)=a\prod_{i=1}^{10}(n-r_i).
Como a é inteiro não nulo, o número de divisores positivos de P(n) é o mesmo de \bigl|\prod_{i=1}^{10}(n-r_i)\bigr|, up to a constante fixa |a|. Para minimizar o número de divisores, podemos tomar a=\pm1, pois multiplicar por outro inteiro só aumenta a quantidade de divisores.

Passo 3

Defina os inteiros
d_i = |\,n - r_i|,\quad i=1,\dots,10.
Como os r_i são distintos, os valores n-r_i também são distintos; os d_i podem repetir valor apenas em pares (pois se n-r_j=-(n-r_k) então d_j=d_k). Logo, na lista \{d_1,\dots,d_{10}\} há pelo menos 5 valores positivos distintos, digamos D_1,\dots,D_5, cada um aparecendo com multiplicidade 1 ou 2 na lista dos dez.
Então
|P(n)| = \prod_{i=1}^{10} d_i = \prod_{k=1}^{5} D_k^{\,m_k},
onde cada m_k\in\{1,2\} e \sum m_k=10.

Passo 4

Seja
Q = \prod_{k=1}^{5} D_k.
Então \prod d_i = \prod D_k^{m_k}\ge Q, mas notemos que, para conseguir poucas classes de primos na fatoração, o pior caso (menor número de divisores) ocorre quando todas as multiplicidades são m_k=2, pois aí
|P(n)| = \prod_{k=1}^{5}D_k^2 =\bigl(\prod_{k=1}^{5}D_k\bigr)^2 = Q^2.
A função número-de-divisores \tau satisfaz, se
Q=\prod_{j} p_j^{e_j},
então
\tau\bigl(Q^2\bigr)=\prod_{j}(2e_j+1).
Para minimizar \prod(2e_j+1) com \sum e_j fixo (no nosso caso \sum e_j será determinado pela escolha dos D_k), devemos concentrar toda a massa de expoentes em um único primo e escolher os D_k para que sejam potências distintas desse primo.
O menor arranjo de 5 inteiros positivos distintos que sejam potências de um mesmo primo p é
D_k = p^{k-1},\quad k=1,2,3,4,5.
Então
Q = \prod_{k=1}^{5}p^{k-1} = p^{0+1+2+3+4} = p^{10},
logo
|P(n)| = Q^2 = p^{20},
e
\tau\bigl(p^{20}\bigr) = 20+1 = 21.

Passo 5

Para ver que não se chega a um valor menor que 21, note que qualquer outro conjunto de cinco inteiros distintos \{D_k\} terá fatoração com soma de expoentes \sum e_j\ge10 (pois cinco números distintos exigem pelo menos cinco expoentes distintos a somar 0+1+2+3+4) e, ao espalhar esses expoentes por dois ou mais primos, a quantidade \prod(2e_j+1) só aumenta. Portanto o valor 21 é de fato o mínimo possível.

Resposta

21

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