Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se 
  é um operador auto-adjunto e 
  é uma base qualquer de 
 , então 
  é simétrica.
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear 
  que é auto-adjunto, ou seja, 
 . Também temos uma base qualquer 
  de 
 . A afirmação diz que a matriz de 
  na base 
 , denotada por 
 , é simétrica. Para analisar isso, vamos precisar conhecer o que é um operador auto-adjunto, o que significa uma matriz ser simétrica e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador 
  é auto-adjunto se, para todos os vetores 
  em 
 , temos 
 , onde 
  é um produto interno em 
 . Isso implica que a matriz de 
  em uma base ortonormal é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos considerar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz 
  é simétrica se 
 , ou seja, se o elemento da posição 
  é igual ao elemento da posição 
  para todos 
  e 
 .
Passo 4
A afirmação diz que para qualquer base 
 , a matriz 
  ser�� simétrica. Sabemos que isso é verdadeiro se a base 
  for ortonormal, porque operadores auto-adjuntos têm matrizes simétricas nesse caso. Mas será que isso vale para qualquer base?
Passo 5
Na verdade, se escolhemos uma base que não é ortonormal, a matriz de um operador auto-adjunto pode não ser simétrica. Isso porque a simetria da matriz depende da escolha da base, especificamente se ela preserva as propriedades do produto interno.
Passo 6
Vamos dar um contra-exemplo para ilustrar isso. Considere o espaço 
  com o produto interno usual, e seja 
  o operador identidade, que é obviamente auto-adjunto. Se escolhermos uma base que não é ortonormal, por exemplo, 
 , a matriz de 
  nessa base será:
Essa matriz não é simétrica porque 
 .
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é o operador identidade em 
  com a base 
 , onde a matriz 
  não é simétrica.