Seja 
 , com 
  e 
 , uma base ordenada de 
 . Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, com o produto interno euclideano, em 
  para obter uma base ortonormal de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base 
  no espaço 
  com os vetores 
 , 
  e 
 . O objetivo é aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt usando o produto interno euclidiano para transformar essa base em uma base ortonormal. Isso significa que vamos encontrar vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base, 
 . No processo de Gram-Schmidt, o primeiro passo é simplesmente normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor da nossa nova base ortonormal.
Para normalizar, a gente divide o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma de 
  é calculada assim:
Então, o primeiro vetor ortonormal, 
 , fica:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor, 
 . A gente precisa garantir que 
  seja perpendicular a 
 . Para isso, subtraímos de 
  a projeção de 
  em 
 . A projeção é calculada da seguinte forma:
Primeiro, calculamos o produto interno 
 :
Como 
  já é um vetor unitário, 
 . Então:
Agora, subtraímos essa projeção de 
  para obter 
 :
Finalmente, normalizamos 
  para obter 
 :
Passo 4
Por último, vamos trabalhar com o terceiro vetor, 
 . Precisamos garantir que 
  seja perpendicular a 
  e 
 . Para isso, subtraímos de 
  as projeções em 
  e 
 .
Primeiro, calculamos a projeção de 
  em 
 :
Depois, a projeção de 
  em 
 :
Agora, subtraímos essas projeções de 
  para obter 
 :
Vamos realizar a subtração componente a componente:
Agora, normalizamos 
  para obter 
 :
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: