Prove que
desde que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado: dois números reais
e tais que a soma dos arcos-tangente satisfaz .\n - Pede-se provar a igualdade
sob essa condição.\n
Aqui a ideia é passar dos arctangentes para ângulos cujas tangentes são e
, usar a fórmula da tangente da soma e então voltar para arctan. Vou fazer isso passo a passo, sem pular etapas.
Aqui a ideia é passar dos arctangentes para ângulos cujas tangentes são
Passo 2
Defino dois ângulos pela relação com arctan:\n
Pelo significado de arctan temos\n
e também
. A hipótese do enunciado afirma que
Ou seja, a soma dos dois ângulos está dentro do ramo principal onde a função tangente é bijetora.
Passo 3
Vou lembrar e provar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos. As fórmulas de seno e cosseno da soma são:\n
Dividindo as duas expressões (seno sobre cosseno) obtemos a tangente da soma:
Agora escrevo seno em função da tangente:
e
. Substituindo na expressão acima:
Factoro
no numerador e no denominador:
Como
(porque
), cancela-se e fica
Passo 4
Agora substituo
e
na fórmula encontrada:
Passo 5
Explico por que a igualdade entre arctangentes segue da igualdade entre tangentes: a função
é bijetora do intervalo
sobre
. Isso significa que, para cada valor real
, existe um único ângulo
tal que
; essa única escolha é
.\n
Como assumimos que , podemos aplicar arctan em ambos os lados da igualdade da tangente e obter:
Como assumimos que
Passo 6
Checo a condição sobre o denominador: se
então a expressão
é indefinida (tende a infinito) e
seria não finita, o que corresponderia a
. Mas o enunciado exclui esses casos pois exige
. Portanto, sob a hipótese dada, tem-se realmente
e tudo é consistente.
Passo 7
Concluindo: com
e
, usando a fórmula da tangente da soma e a bijetividade de
em
, obtemos a identidade desejada sob a hipótese do enunciado.