Prove que
\arctan x+\arctan y=\arctan \left(\frac{x+y}{1-x y}\right)
desde que -\pi / 2<\operatorname{arc} \tan x+\operatorname{arc} \tan y<\pi / 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: dois números reais x e y tais que a soma dos arcos-tangente satisfaz -\tfrac{\pi}{2}<\arctan x+\arctan y<\tfrac{\pi}{2}.\n
  • Pede-se provar a igualdade
\arctan x+\arctan y=\arctan\!\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)
sob essa condição.\n
Aqui a ideia é passar dos arctangentes para ângulos cujas tangentes são x e y, usar a fórmula da tangente da soma e então voltar para arctan. Vou fazer isso passo a passo, sem pular etapas.

Passo 2

Defino dois ângulos pela relação com arctan:\n
\alpha=\arctan x,\qquad \beta=\arctan y.
Pelo significado de arctan temos\n
\tan\alpha=x,\qquad \tan\beta=y,
e também \alpha,\beta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). A hipótese do enunciado afirma que
\alpha+\beta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Ou seja, a soma dos dois ângulos está dentro do ramo principal onde a função tangente é bijetora.

Passo 3

Vou lembrar e provar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos. As fórmulas de seno e cosseno da soma são:\n
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Dividindo as duas expressões (seno sobre cosseno) obtemos a tangente da soma:
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}.
Agora escrevo seno em função da tangente: \sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha e \sin\beta=\tan\beta\cos\beta. Substituindo na expressão acima:
\tan(\alpha+\beta) =\frac{(\tan\alpha\cos\alpha)\cos\beta+\cos\alpha(\tan\beta\cos\beta)} {\cos\alpha\cos\beta-(\tan\alpha\cos\alpha)(\tan\beta\cos\beta)}.
Factoro \cos\alpha\cos\beta no numerador e no denominador:
\tan(\alpha+\beta) =\frac{\cos\alpha\cos\beta\;(\tan\alpha+\tan\beta)} {\cos\alpha\cos\beta\;(1-\tan\alpha\tan\beta)}.
Como \cos\alpha\cos\beta\neq0 (porque \alpha,\beta\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})), cancela-se e fica
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.

Passo 4

Agora substituo \tan\alpha=x e \tan\beta=y na fórmula encontrada:
\tan(\alpha+\beta)=\frac{x+y}{1-xy}.

Passo 5

Explico por que a igualdade entre arctangentes segue da igualdade entre tangentes: a função \tan é bijetora do intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) sobre \mathbb{R}. Isso significa que, para cada valor real t, existe um único ângulo \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que \tan\theta=t; essa única escolha é \theta=\arctan t.\n
Como assumimos que \alpha+\beta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), podemos aplicar arctan em ambos os lados da igualdade da tangente e obter:
\alpha+\beta=\arctan\!\left(\tan(\alpha+\beta)\right)=\arctan\!\left(\frac{x+y}{1-xy}\right).

Passo 6

Checo a condição sobre o denominador: se 1-xy=0 então a expressão \dfrac{x+y}{1-xy} é indefinida (tende a infinito) e \tan(\alpha+\beta) seria não finita, o que corresponderia a \alpha+\beta=\pm\tfrac{\pi}{2}. Mas o enunciado exclui esses casos pois exige -\tfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\tfrac{\pi}{2}. Portanto, sob a hipótese dada, tem-se realmente 1-xy\neq0 e tudo é consistente.

Passo 7

Concluindo: com \alpha=\arctan x e \beta=\arctan y, usando a fórmula da tangente da soma e a bijetividade de \tan em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), obtemos a identidade desejada sob a hipótese do enunciado.

Resposta

\arctan x+\arctan y=\arctan\!\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

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