Esboce o gráfico das seguintes funções:
g(x)=\lfloor x-4\rfloor;

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função g(x)=\lfloor x-4\rfloor.
Informações dadas: uma expressão única para a função, envolvendo a função piso (parte inteira inferior) aplicada a x-4. O objetivo é descrever/representar o comportamento da curva em todo o eixo real.

Passo 2

O que é a função piso (função \lfloor\cdot\rfloor) — mini-aula bem mastigada.
  • Por definição, \lfloor t\rfloor é o maior número inteiro menor ou igual a t.
  • Exemplos simples para fixar:
    • \lfloor 2,3\rfloor = 2.
    • \lfloor 5\rfloor = 5.
    • \lfloor -1,2\rfloor = -2 (atenção com negativos: sempre arredonda para baixo, isto é, para o inteiro menor ou igual).
  • Propriedade útil quando desloca por inteiro: se k é inteiro então \lfloor t-k\rfloor=\lfloor t\rfloor-k. Aqui podemos usar isso com k=4, porque 4 é inteiro.

Passo 3

Transformar a condição \lfloor x-4\rfloor = n em intervalos (a ideia para esboçar):
  • A igualdade \lfloor x-4\rfloor = n ocorre exatamente quando
n \le x-4 < n+1.
  • Isolando x,
n+4 \le x < n+5.
  • Portanto, para cada inteiro n a função vale n no intervalo [n+4,\;n+5). Esses intervalos cobrem todo \mathbb{R} quando n varia em \mathbb{Z}.

Passo 4

Escrevendo a função de forma explícita por “degraus” — passo a passo para desenhar:
  • Para n=0: em x\in[4,5) temos g(x)=0.
  • Para n=1: em x\in[5,6) temos g(x)=1.
  • Para n=-1: em x\in[3,4) temos g(x)=-1.
  • Em geral: em x\in[n+4,n+5) temos g(x)=n, para todo n\in\mathbb{Z}.
    Observação sobre extremos dos intervalos: cada segmento horizontal é fechado à esquerda (ponto preenchido em x=n+4) e aberto à direita (ponto aberto em x=n+5), porque [n+4,n+5) inclui a esquerda e exclui a direita.

Passo 5

Comportamento nos pontos de salto e continuidade (para desenhar corretamente):
  • Em x=n+4 o valor da função é g(n+4)=n (ponto preenchido). A aproximação pela esquerda dá n-1. Ou seja,
    • \displaystyle \lim_{x\to (n+4)^-} g(x)=n-1,
    • \displaystyle g(n+4)=n,
    • \displaystyle \lim_{x\to (n+4)^+} g(x)=n.
  • Logo há saltos ascendentes de tamanho 1 em cada x=n+4. Desenhar um segmento horizontal em altura n de x=n+4 (incluso) até x=n+5 (não incluso), com um círculo aberto no extremo direito.

Passo 6

Dicas práticas para esboçar rápido na prova (sem calculadora):
  • Trace os pontos de salto em x=4,5,6,\dots e também x=3,2,\dots (ou seja, em x=n+4 para alguns n).
  • Em cada intervalo [n+4,n+5) desenhe uma reta horizontal em y=n. Marque ponto fechado no início do intervalo e ponto aberto no fim. Repita para vários n (ex.: n=-2,-1,0,1,2) para mostrar o padrão.
  • Pode usar a propriedade \lfloor x-4\rfloor=\lfloor x\rfloor-4 para raciocinar: é equivalente ao gráfico de \lfloor x\rfloor deslocado verticalmente para baixo em 4 unidades — isso ajuda a visualizar mais rápido.

Passo 7

Comportamento extremo e conclusão visual:
  • Quando x\to+\infty os degraus sobem sem limite — g(x)\to+\infty.
  • Quando x\to-\infty os degraus descem sem limite — g(x)\to-\infty.
  • O gráfico é uma sequência infinita de degraus horizontais de altura inteira, cada degrau com comprimento 1 ao longo do eixo x, alinhados segundo a regra do Passo 3, com saltos unitários em x=n+4.

Resposta

\displaystyle g(x)=\lfloor x-4\rfloor=\;n\quad\text{para }x\in[n+4,\;n+5),\;n\in\mathbb{Z}

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