Esboce o gráfico das seguintes funções:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas: uma expressão única para a função, envolvendo a função piso (parte inteira inferior) aplicada a . O objetivo é descrever/representar o comportamento da curva em todo o eixo real.
Informações dadas: uma expressão única para a função, envolvendo a função piso (parte inteira inferior) aplicada a
Passo 2
O que é a função piso (função
) — mini-aula bem mastigada.
- Por definição,
é o maior número inteiro menor ou igual a . - Exemplos simples para fixar:
-
. -
. -
(atenção com negativos: sempre arredonda para baixo, isto é, para o inteiro menor ou igual).
-
- Propriedade útil quando desloca por inteiro: se
é inteiro então . Aqui podemos usar isso com , porque é inteiro.
Passo 3
Transformar a condição
em intervalos (a ideia para esboçar):
- A igualdade
ocorre exatamente quando
- Isolando
,
- Portanto, para cada inteiro
a função vale no intervalo . Esses intervalos cobrem todo quando varia em .
Passo 4
Escrevendo a função de forma explícita por “degraus” — passo a passo para desenhar:
- Para
: em temos . - Para
: em temos . - Para
: em temos . - Em geral: em
temos , para todo .
Observação sobre extremos dos intervalos: cada segmento horizontal é fechado à esquerda (ponto preenchido em) e aberto à direita (ponto aberto em ), porque inclui a esquerda e exclui a direita.
Passo 5
Comportamento nos pontos de salto e continuidade (para desenhar corretamente):
- Em
o valor da função é (ponto preenchido). A aproximação pela esquerda dá . Ou seja, -
, -
, -
.
-
- Logo há saltos ascendentes de tamanho
em cada . Desenhar um segmento horizontal em altura de (incluso) até (não incluso), com um círculo aberto no extremo direito.
Passo 6
Dicas práticas para esboçar rápido na prova (sem calculadora):
- Trace os pontos de salto em
e também (ou seja, em para alguns ). - Em cada intervalo
desenhe uma reta horizontal em . Marque ponto fechado no início do intervalo e ponto aberto no fim. Repita para vários (ex.: ) para mostrar o padrão. - Pode usar a propriedade
para raciocinar: é equivalente ao gráfico de deslocado verticalmente para baixo em unidades — isso ajuda a visualizar mais rápido.
Passo 7
Comportamento extremo e conclusão visual:
- Quando
os degraus sobem sem limite — . - Quando
os degraus descem sem limite — . - O gráfico é uma sequência infinita de degraus horizontais de altura inteira, cada degrau com comprimento
ao longo do eixo , alinhados segundo a regra do Passo 3, com saltos unitários em .