Esboce o gráfico das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é dada explicitamente por
. - Domínio: todos os reais
. - Pedido: um esboço/descrição do gráfico (forma, comportamento em intervalos, descontinuidades, período, etc.).
Nada mais é dado.
Passo 2
Entendendo a parte teórica fundamental (piso e parte fracionária), de forma bem clara e prática.
- Definição do piso: para
, é o maior inteiro menor ou igual a . Exemplos rápidos: , . - Definição da parte fracionária: para
define-se . Tem sempre . - Observação útil: a parte fracionária é invariante por translação inteira:
para qualquer inteiro .
Esses conceitos vão permitir transformar a função para uma forma mais simples de visualizar.
Passo 3
Manipulação algébrica para escrever
em termos da parte fracionária.
Começo escrevendo
como
. Então
Como
(a parte fracionária não muda com subtração de um inteiro), podemos também escrever
Consequências imediatas:
- A parte fracionária satisfaz
, logo
Portanto o contradomínio (imagem) da função é
.
- Periodicidade: para qualquer
,
logo
tem período
. Em palavras: o gráfico repete-se a cada unidade em
.
Passo 4
Descrição detalhada do comportamento em cada intervalo de comprimento
.
Seja
. Para
com
, isto é para
temos
e então
Isto é uma reta de coeficiente angular
(inclinação
) sobre o intervalo
. Valores nas extremidades do intervalo:
- Em
(extremo esquerdo, incluído) vale
- Aproximando
por valores à esquerda de (isto é ) temos (mas nunca alcança dentro do intervalo). - Em
(que pertence ao próximo intervalo) temos
Portanto cada segmento sobe linearmente de
até (mas não incluindo)
e no ponto inteiro seguinte volta a
.
Passo 5
Animação mental do gráfico e pontos exemplares — vamos calcular alguns valores para fixar a ideia.
- Para
: - Para
: - Para
: (aproxima de , mas é ). - Para
: - Para
: peguei esse valor para mostrar que funciona para . Calcula-se , então . Note que isto coincide com . - Para
: , então . Mostra que para negativos também dá algo entre e .
Esses exemplos confirmam que, em qualquer intervalo unitário, o gráfico é uma reta crescente de
até quase
, e que em pontos inteiros o valor é exatamente
.
Passo 6
Descontinuidades e continuidade lateral — como marcar no desenho:
- Em qualquer ponto
que seja inteiro, a descontinuidade é do tipo salto: - Limiar pela esquerda:
para . - Valor no ponto:
. - Limiar pela direita:
.
Assim o gráfico tem um ponto fechado eme um círculo aberto muito próximo acima em representando o limite pela esquerda que não é atingido.
- Limiar pela esquerda:
- Em cada intervalo aberto entre inteiros (por exemplo
) a função é contínua e diferenciável (reta de inclinação ).
Passo 7
Instruções práticas para esboçar o gráfico (passo a passo para fazer na prova, sem calculadora):
- Marque no eixo
as alturas e . - Escolha alguns inteiros no eixo
(por exemplo ). - Em cada inteiro
plotar um ponto fechado em . - Em cada intervalo
desenhar a reta de equação — mais simples: como , no intervalo o segmento vai de (quando ) subindo com inclinação até próximo de quando . Indicar o ponto no topo como aberto (não alcança ). - Repetir para vários
. O padrão se repete a cada unidade: é um “dente de serra” com amplitude deslocado para cima (entre e ).
Dica rápida: como
, pode-se também desenhar o gráfico da função
(que é o dente de serra entre
e
) e simplesmente somar
verticalmente.
Resposta
O gráfico é um dente-de-serra periódico de período
, dado por
. Em cada intervalo
com
tem-se a reta
que sobe de
(incluído em
) até
(não incluído, ao aproximar
); em
o valor volta a
, havendo salto (limite pela esquerda
, valor
). A imagem é
.