Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x-\lfloor x-4\rfloor;

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função \displaystyle f(x)=x-\lfloor x-4\rfloor.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é dada explicitamente por \displaystyle f(x)=x-\lfloor x-4\rfloor.
  • Domínio: todos os reais \displaystyle \mathbb{R}.
  • Pedido: um esboço/descrição do gráfico (forma, comportamento em intervalos, descontinuidades, período, etc.).
    Nada mais é dado.

Passo 2

Entendendo a parte teórica fundamental (piso e parte fracionária), de forma bem clara e prática.
  • Definição do piso: para t\in\mathbb{R}, \displaystyle \lfloor t\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a t. Exemplos rápidos: \displaystyle \lfloor 2{,}3\rfloor=2, \displaystyle \lfloor -1{,}2\rfloor=-2.
  • Definição da parte fracionária: para t\in\mathbb{R} define-se \displaystyle \{t\}=t-\lfloor t\rfloor. Tem sempre \displaystyle 0\le \{t\}<1.
  • Observação útil: a parte fracionária é invariante por translação inteira: \displaystyle \{t+n\}=\{t\} para qualquer inteiro n.
Esses conceitos vão permitir transformar a função para uma forma mais simples de visualizar.

Passo 3

Manipulação algébrica para escrever f em termos da parte fracionária.
Começo escrevendo x como (x-4)+4. Então
f(x)=x-\lfloor x-4\rfloor=(x-4)-\lfloor x-4\rfloor+4=\{\,x-4\,\}+4.
Como \{x-4\}=\{x\} (a parte fracionária não muda com subtração de um inteiro), podemos também escrever
f(x)=4+\{x\}.
Consequências imediatas:
  • A parte fracionária satisfaz 0\le \{x\}<1, logo
4\le f(x)<5.
Portanto o contradomínio (imagem) da função é [4,5).
  • Periodicidade: para qualquer x,
f(x+1)=4+\{x+1\}=4+\{x\}=f(x),
logo f tem período \displaystyle 1. Em palavras: o gráfico repete-se a cada unidade em x.

Passo 4

Descrição detalhada do comportamento em cada intervalo de comprimento 1.
Seja n\in\mathbb{Z}. Para x com \displaystyle x-4\in [n,n+1), isto é para
x\in [n+4,\;n+5),
temos \lfloor x-4\rfloor=n e então
f(x)=x-n.
Isto é uma reta de coeficiente angular 1 (inclinação 1) sobre o intervalo [n+4,n+5). Valores nas extremidades do intervalo:
  • Em x=n+4 (extremo esquerdo, incluído) vale
f(n+4)=(n+4)-n=4.
  • Aproximando x por valores à esquerda de n+5 (isto é x\to (n+5)^-) temos f(x)\to 5 (mas nunca alcança 5 dentro do intervalo).
  • Em x=n+5 (que pertence ao próximo intervalo) temos
f(n+5)=(n+5)-(n+1)=4.
Portanto cada segmento sobe linearmente de 4 até (mas não incluindo) 5 e no ponto inteiro seguinte volta a 4.

Passo 5

Animação mental do gráfico e pontos exemplares — vamos calcular alguns valores para fixar a ideia.
  • Para x=4: \displaystyle f(4)=4-\lfloor 0\rfloor=4.
  • Para x=4{,}3: \displaystyle f(4{,}3)=4{,}3-\lfloor 0{,}3\rfloor=4{,}3-0=4{,}3.
  • Para x=4{,}999: \displaystyle f(4{,}999)\approx 4{,}999 (aproxima de 5, mas é <5).
  • Para x=5: \displaystyle f(5)=5-\lfloor 1\rfloor=5-1=4.
  • Para x=2{,}3: peguei esse valor para mostrar que funciona para x<4. Calcula-se \lfloor 2{,}3-4\rfloor=\lfloor -1{,}7\rfloor=-2, então \displaystyle f(2{,}3)=2{,}3-(-2)=4{,}3. Note que isto coincide com \displaystyle 4+\{2{,}3\}=4+0{,}3.
  • Para x=-1{,}2: \lfloor -1{,}2-4\rfloor=\lfloor -5{,}2\rfloor=-6, então \displaystyle f(-1{,}2)=-1{,}2-(-6)=4{,}8. Mostra que para negativos também dá algo entre 4 e 5.
Esses exemplos confirmam que, em qualquer intervalo unitário, o gráfico é uma reta crescente de 4 até quase 5, e que em pontos inteiros o valor é exatamente 4.

Passo 6

Descontinuidades e continuidade lateral — como marcar no desenho:
  • Em qualquer ponto x que seja inteiro, a descontinuidade é do tipo salto:
    • Limiar pela esquerda: \displaystyle \lim_{t\to m^-} f(t)=5 para m\in\mathbb{Z}.
    • Valor no ponto: f(m)=4.
    • Limiar pela direita: \displaystyle \lim_{t\to m^+} f(t)=4.
      Assim o gráfico tem um ponto fechado em (m,4) e um círculo aberto muito próximo acima em (m,5) representando o limite pela esquerda que não é atingido.
  • Em cada intervalo aberto entre inteiros (por exemplo (m,m+1)) a função é contínua e diferenciável (reta de inclinação 1).

Passo 7

Instruções práticas para esboçar o gráfico (passo a passo para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Marque no eixo y as alturas 4 e 5.
  2. Escolha alguns inteiros no eixo x (por exemplo \ldots,-1,0,1,2,3,4,5,6,\ldots).
  3. Em cada inteiro m plotar um ponto fechado em (m,4).
  4. Em cada intervalo [m,m+1) desenhar a reta de equação \displaystyle y=x-(m-4) — mais simples: como f(x)=4+\{x\}, no intervalo [m,m+1) o segmento vai de y=4 (quando x=m) subindo com inclinação 1 até y próximo de 5 quando x\to m+1^-. Indicar o ponto no topo como aberto (não alcança 5).
  5. Repetir para vários m. O padrão se repete a cada unidade: é um “dente de serra” com amplitude 1 deslocado para cima (entre 4 e 5).
Dica rápida: como f(x)=4+\{x\}, pode-se também desenhar o gráfico da função \{x\} (que é o dente de serra entre 0 e 1) e simplesmente somar 4 verticalmente.

Resposta

O gráfico é um dente-de-serra periódico de período \displaystyle 1, dado por \displaystyle f(x)=4+\{x\}. Em cada intervalo \displaystyle [n+4,n+5) com n\in\mathbb{Z} tem-se a reta \displaystyle f(x)=x-n que sobe de 4 (incluído em x=n+4) até 5 (não incluído, ao aproximar x\to n+5^-); em x=n+5 o valor volta a 4, havendo salto (limite pela esquerda =5, valor =4). A imagem é [4,5).

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