Prove que se
são inteiros ímpares, as raízes de
não são racionais.
Passo 1
O enunciado considera a equação quadrática
onde
,
e
são inteiros ímpares, e pede para mostrar que as raízes dessa equação não são racionais. Vamos usar a fórmula de Bhaskara e propriedades de congruências módulo
para provar que o discriminante não é quadrado perfeito.
Passo 2
Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são dadas por
com o discriminante
Como
,
e
são ímpares, escrevemos
para
. Então
para algum
, isto é,
. Além disso
Logo
Passo 3
Para refinar a congruência, observamos módulo
. Como
é ímpar,
. E, como
e
são ímpares,
Portanto
Passo 4
Agora, os quadrados perfeitos inteiros
só podem assumir os valores
,
ou
módulo
. Em particular não existe inteiro
tal que
Como mostramos que
, concluímos que
não é quadrado perfeito.
Passo 5
Se
não é quadrado perfeito, então
não é inteiro, e portanto não é racional. Assim, as raízes
não podem ser números racionais.
Resposta
As raízes de
, com
ímpares, não são racionais.