Prove que se a, b, c são inteiros ímpares, as raízes de y=a x^2+b c+c não são racionais.

Passo 1

O enunciado considera a equação quadrática
y = a x^2 + b x + c
onde a, b e c são inteiros ímpares, e pede para mostrar que as raízes dessa equação não são racionais. Vamos usar a fórmula de Bhaskara e propriedades de congruências módulo 8 para provar que o discriminante não é quadrado perfeito.

Passo 2

Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são dadas por
x = -b pm raizDe<a2a,
com o discriminante
De<a = b^2 - 4ac
Como a, b e c são ímpares, escrevemos
b = 2k+1, a=2m+1, c=2n+1
para k,m,ninZ. Então
b^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4K + 1
para algum KinZ, isto é, b^2equiv1pmod4. Além disso
4ac = 4(2m+1)(2n+1)=4l(4mn+2m+2n+1r)=16,mn+8(m+n)+4equiv0pmod4
Logo
De<a = b^2 - 4ac equiv 1 - 0 = 1 pmod4

Passo 3

Para refinar a congruência, observamos módulo 8. Como b é ímpar, b^2equiv1pmod8. E, como a e c são ímpares,
ac equiv 1cdot1 =1 pmod2 Longrightarrow 4ac equiv 4cdot1 =4 pmod8
Portanto
De<a = b^2 - 4ac equiv 1 - 4 = -3 equiv 5 pmod8

Passo 4

Agora, os quadrados perfeitos inteiros d^2 só podem assumir os valores 0, 1 ou 4 módulo 8. Em particular não existe inteiro d tal que
d^2equiv5pmod8
Como mostramos que De<aequiv5pmod8, concluímos que De<a não é quadrado perfeito.

Passo 5

Se De<a não é quadrado perfeito, então raizDe<a não é inteiro, e portanto não é racional. Assim, as raízes
x = -b pm raizDe<a2a
não podem ser números racionais.

Resposta

As raízes de a x^2 + b x + c, com a,b,c ímpares, não são racionais.

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