Em cada um dos casos abaixo determine a derivada da função dada.
f(x)=3 x^4 tan (x^2),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3x^4tan(x^2). Para resolver vamos usar a regra do produto (pois é produto de duas funções) e a regra da cadeia (para derivar tan(x^2)).

Passo 2

Definimos
u(x)=3x^4, v(x)=tan(x^2)
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=ddx(3x^4)=12x^3
Para v'(x), aplicamos a regra da cadeia: se v(x)=tan(w) com w=x^2, então
v'(x)=sec^2(w)cdot w' =sec^2(x^2)cdotddx(x^2) =2x,sec^2(x^2)

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+u v':
f'(x)=12x^3,tan(x^2) + 3x^4cdotl(2x,sec^2(x^2)r)

Passo 5

Fazendo a simplificação final:
f'(x)=12x^3tan(x^2)+6x^5sec^2(x^2)

Resposta

f'(x)=12x^3tan(x^2)+6x^5sec^2(x^2)

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