Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral0^+infty x d x(x+1)^3=12

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral0^+infty x,dx(x+1)^3
que envolve técnicas de mudança de variável e de integração de potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1 Longrightarrow x = u - 1, dx = du
Quando x=0 temos u=1, e quando xto+infty temos uto+infty. O integral vira
integral1^+infty u-1u^3,du

Passo 3

Decompondo o integrando:
u-1u^3 = uu^3 - 1u^3 = 1u^2 - 1u^3
Então
integral1^+infty u-1u^3,du = integral1^+infty 1u^2,du - integral1^+infty 1u^3,du

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente.
Para integral 1u^2,du temos antiderivada -u^-1.
Para integral 1u^3,du temos antiderivada -tfrac12u^-2.
Logo,
integral1^+infty 1u^2,du = l[-1ur]1^infty = 0 - l(-1r) = 1,
integral1^+infty 1u^3,du = l[-12u^2r]1^infty = 0 - l(-tfrac12r) = 12

Passo 5

Subtraindo os resultados:
integral0^infty x,dx(x+1)^3 = 1 - 12 = 12

Resposta

12

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