Prove que.
(b) Se f(x)=\operatorname{arccos} x, então f^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{arccos} x. Vamos usar diferenciação implícita e relações trigonométricas para encontrar f'(x).

Passo 2

Defina y=\operatorname{arccos} x. Então
x=\cos y.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(\cos y)
ou seja
1=-\sin y\,\frac{dy}{dx}.
Desse modo,
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.

Passo 3

Como y=\operatorname{arccos} x está em [0,\pi], temos \sin y\ge0 e
\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-x^2}.
Substituindo em \frac{dy}{dx}, fica
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

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