Prove que se A e B forem vetores constantes e f e g forem funções integráveis, então
\int[\mathbf{A} f(t)+\mathbf{B} g(t)] d t=\mathbf{A} \int f(t) d t+\mathbf{B} \int g(t) d t
(Sugestão: expresse A eB em termos de i e j.)

Passo 1

O enunciado pede para provar a linearidade da integral de uma combinação de vetores constantes com funções escalares integráveis, ou seja, mostrar que
\int [\mathbf{A}\,f(t) + \mathbf{B}\,g(t)]\,dt = \mathbf{A}\,\int f(t)\,dt + \mathbf{B}\,\int g(t)\,dt.
Vamos usar o fato de que integral de função vetorial se faz componente a componente e que constantes podem sair da integral. A sugestão é escrever \mathbf{A} e \mathbf{B} na base canônica.

Passo 2

Seja \{\mathbf{i},\mathbf{j}\} a base canônica de \mathbb{R}^2. Escrevemos
\mathbf{A} = A_x\,\mathbf{i} + A_y\,\mathbf{j}, \qquad \mathbf{B} = B_x\,\mathbf{i} + B_y\,\mathbf{j},
onde A_x,A_y,B_x,B_y são constantes reais. Então
\mathbf{A}\,f(t) + \mathbf{B}\,g(t) = \bigl(A_x f(t) + B_x g(t)\bigr)\mathbf{i} + \bigl(A_y f(t) + B_y g(t)\bigr)\mathbf{j}.

Passo 3

Como a integral de função vetorial é feita componente a componente, temos
\int [\mathbf{A}f(t)+\mathbf{B}g(t)]\,dt = \int \bigl(A_x f(t)+B_x g(t)\bigr)\,dt\;\mathbf{i} + \int \bigl(A_y f(t)+B_y g(t)\bigr)\,dt\;\mathbf{j}.
Pela linearidade da integral de funções escalares, cada componente satisfaz
\int \bigl(A_x f + B_x g\bigr)\,dt = A_x\int f\,dt + B_x\int g\,dt,
\int \bigl(A_y f + B_y g\bigr)\,dt = A_y\int f\,dt + B_y\int g\,dt.

Passo 4

Substituindo de volta em cada componente, obtemos
\int [\mathbf{A}f+\mathbf{B}g]\,dt = \bigl(A_x\!\int f + B_x\!\int g\bigr)\mathbf{i} + \bigl(A_y\!\int f + B_y\!\int g\bigr)\mathbf{j}.
Reagrupando termos escalar-vetor:
= \bigl(A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}\bigr)\!\int f + \bigl(B_x\mathbf{i}+B_y\mathbf{j}\bigr)\!\int g = \mathbf{A}\,\int f + \mathbf{B}\,\int g.

Resposta

Foi demonstrado que
\int[\mathbf{A}f(t)+\mathbf{B}g(t)]\,dt = \mathbf{A}\,\int f(t)\,dt + \mathbf{B}\,\int g(t)\,dt.

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