Prove que se A e B forem vetores constantes e
e
forem funções integráveis, então
(Sugestão: expresse A eB em termos de i e j.)
Passo 1
O enunciado pede para provar a linearidade da integral de uma combinação de vetores constantes com funções escalares integráveis, ou seja, mostrar que
Vamos usar o fato de que integral de função vetorial se faz componente a componente e que constantes podem sair da integral. A sugestão é escrever
e
na base canônica.
Passo 2
Seja
a base canônica de
. Escrevemos
onde
são constantes reais. Então
Passo 3
Como a integral de função vetorial é feita componente a componente, temos
Pela linearidade da integral de funções escalares, cada componente satisfaz
Passo 4
Substituindo de volta em cada componente, obtemos
Reagrupando termos escalar-vetor:
Resposta
Foi demonstrado que