Prove que se A e B forem vetores constantes e f e g forem funções integráveis, então
\int[\mathbf{A} f(t)+\mathbf{B} g(t)] d t=\mathbf{A} \int f(t) d t+\mathbf{B} \int g(t) d t
(Sugestão: expresse A eB em termos de i e j.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de linearidade da integral em funções vetoriais do tipo
\mathbf{h}(t)=\mathbf{A}\,f(t)+\mathbf{B}\,g(t),
onde \mathbf{A} e \mathbf{B} são vetores constantes e f, g são funções integráveis. Vamos usar que a integral de um vetor é feita componente a componente e a linearidade da integral de funções escalares.

Passo 2

Escrevemos os vetores constantes em coordenadas no plano:
\mathbf{A}=A_x\,\mathbf{i}+A_y\,\mathbf{j}, \qquad \mathbf{B}=B_x\,\mathbf{i}+B_y\,\mathbf{j},
onde A_x,A_y,B_x,B_y são constantes e \mathbf{i},\mathbf{j} são os versores canônicos.

Passo 3

Definimos a função vetorial
\mathbf{h}(t)=\mathbf{A}\,f(t)+\mathbf{B}\,g(t).
Então suas componentes são
h_x(t)=A_x\,f(t)+B_x\,g(t), \qquad h_y(t)=A_y\,f(t)+B_y\,g(t).

Passo 4

Aplicamos a integral componente a componente e a propriedade de linearidade da integral escalar:
\int h_x(t)\,dt =\int\bigl(A_x\,f(t)+B_x\,g(t)\bigr)\,dt =A_x\int f(t)\,dt+B_x\int g(t)\,dt,
\int h_y(t)\,dt =\int\bigl(A_y\,f(t)+B_y\,g(t)\bigr)\,dt =A_y\int f(t)\,dt+B_y\int g(t)\,dt.

Passo 5

Reagrupando em vetor, obtemos
\int\mathbf{h}(t)\,dt =\Bigl(A_x\int f+\!B_x\int g\Bigr)\mathbf{i} +\Bigl(A_y\int f+\!B_y\int g\Bigr)\mathbf{j} =\mathbf{A}\int f(t)\,dt+\mathbf{B}\int g(t)\,dt.

Resposta

\int\bigl[\mathbf{A}f(t)+\mathbf{B}g(t)\bigr]dt =\mathbf{A}\int f(t)dt+\mathbf{B}\int g(t)dt.

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