Prove que binomnk+binomnk+1=binomn+1k+1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para provar a identidade
binomnk + binomnk+1 ;=;binomn+1k+1
Isso tá no tópico de coeficientes binomiais, que usa fatoriais e manipulação de frações. Para resolver, vamos precisar da definição
binomnk ;=;n!k!,(n-k)!
e de propriedades básicas de fatorial (tipo ).

Passo 2

Começando a prova, escrevemos cada binomial em termos de fatoriais:
binomnk =n!k!,(n-k)!, binomnk+1 =n!(k+1)!,(n-k-1)!
Então nossa soma vira
n!k!,(n-k)! ;+; n!(k+1)!,(n-k-1)!

Passo 3

Agora vamos colocar sobre um mesmo denominador. Note que
n!k!,(n-k)! =n!k!,(n-k),(n-k-1)! ;times;(n-k) e n!(k+1)!,(n-k-1)! =n!(k+1),k!,(n-k-1)! ;times;(k+1) .
Reescrevendo:
n!,(n-k)k!,(n-k),(n-k-1)! ;+; n!,(k+1)(k+1),k!,(n-k-1)! = n!,(n-k) + n!,(k+1)(k+1),k!,(n-k),(n-k-1)!/(n-k)
e

Então a soma fica
[
\frac{n!,(n-k)}{k!,(n-k),(n-k-1)!}
;+;
\frac{n!,(k+1)}{(k+1),k!,(n-k-1)!}

\frac{n!,(n-k) + n!,(k+1)}{(k+1),k!,(n-k),(n-k-1)!/(n-k)}
]
mas dá pra enxugar melhor…

Passo 4

Vamos combinar direitinho:
binomnk+binomnk+1 =n!k!,(n-k)!+n!(k+1)!,(n-k-1)! =n!l[(k+1)+(n-k)r](k+1)!,(n-k)!
Note que n!,(n+1)(k+1)!,(n-k)! =(n+1)!(k+1)!,l((n+1)-(k+1)r)! =binomn+1k+1 , então

Resposta

boxedbinomnk + binomnk+1 = binomn+1k+1

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