Prove que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para provar a identidade
Isso tá no tópico de coeficientes binomiais, que usa fatoriais e manipulação de frações. Para resolver, vamos precisar da definição
e de propriedades básicas de fatorial (tipo
).
Passo 2
Começando a prova, escrevemos cada binomial em termos de fatoriais:
Então nossa soma vira
Passo 3
Agora vamos colocar sobre um mesmo denominador. Note que
e
.
Reescrevendo:
e
Então a soma fica
[
\frac{n!,(n-k)}{k!,(n-k),(n-k-1)!}
;+;
\frac{n!,(k+1)}{(k+1),k!,(n-k-1)!}
\frac{n!,(n-k) + n!,(k+1)}{(k+1),k!,(n-k),(n-k-1)!/(n-k)}
]
]
mas dá pra enxugar melhor…
Passo 4
Vamos combinar direitinho:
Note que
, então