Prove que sumk=0^n(-1)^k binomnk=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente provar que
sumk=0^n(-1)^kbinomnk ;=; 0
O conteúdo aqui é o Teorema Binomial e a manipulação de potências. Para resolver, vamos precisar lembrar o enunciado do Teorema Binomial, ver como ele gera essa soma de binômios e depois escolher valores de e adequados (no caso e ).

Passo 2

Primeiro, o que diz o Teorema Binomial? Para qualquer número real (ou até complexo) (x+y)^n ;=; sumk=0^n binomnk,x^,n-k,y^k , e inteiro , temos:
Aqui é o número de formas de escolher elementos dentre . No nosso caso, a ideia é fazer e . Mas antes, calma: por que essa expansão funciona?
  • Quando você multiplica fatores de , em cada fator escolhe ou ou .
  • Se você escolher em exatamente fatores e em fatores, o termo gerado é .
  • E o número de jeitos de escolher quais fatores vão “cair” em é justamente .
    Então somamos tudo isso para até .

Passo 3

Agora sim: apliquei o Teorema Binomial com (1 + (-1))^n ;=; sumk=0^n binomnk,1^,n-k,(-1)^k ;=; sumk=0^n (-1)^k binomnk e sumk=0^n(-1)^k binomnk ;=; 0 . Ficaria:
Mas , logo o lado esquerdo é . Se , . Portanto

Resposta

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