Prove que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente provar que
O conteúdo aqui é o Teorema Binomial e a manipulação de potências. Para resolver, vamos precisar lembrar o enunciado do Teorema Binomial, ver como ele gera essa soma de binômios e depois escolher valores de
e
adequados (no caso
e
).
Passo 2
Primeiro, o que diz o Teorema Binomial? Para qualquer número real (ou até complexo)
,
e inteiro
, temos:
Aqui
é o número de formas de escolher
elementos dentre
. No nosso caso, a ideia é fazer
e
. Mas antes, calma: por que essa expansão funciona?
- Quando você multiplica
fatores de , em cada fator escolhe ou ou . - Se você escolher
em exatamente fatores e em fatores, o termo gerado é . - E o número de jeitos de escolher quais
fatores vão “cair” em é justamente .
Então somamos tudo isso paraaté .
Passo 3
Agora sim: apliquei o Teorema Binomial com
e
. Ficaria:
Mas
, logo o lado esquerdo é
. Se
,
. Portanto