Prove que cada uma das seguintes funções é limitada no intervalo indicado:
f(x)=\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}} em (0,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}
é limitada no intervalo (0,+\infty).
Conteúdo: definição de função limitada e uso de desigualdades clássicas para \sin(x).

Passo 2

Lembramos duas desigualdades válidas para todo x\in\mathbb{R}: \\ |\sin(x)|\le1 e \\ |\sin(x)|\le|x|.

Passo 3

Para x\ge1 temos
|f(x)|=\left|\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\right|\le\frac{1}{\sqrt{x}}\le1.

Passo 4

Para 0<x<1 usamos |\sin(x)|\le x, obtendo
|f(x)|=\left|\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\right|\le\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}\le1.

Passo 5

Em ambos os casos |f(x)|\le1. Logo, tomando M=1, temos |f(x)|\le M para todo x>0, isto é, f é limitada em (0,+\infty).

Resposta

A função é limitada em (0,+\infty) com cota M=1.

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