Prove que cada uma das seguintes funções é limitada no intervalo indicado:
f(x)=\frac{\sin (x)}{1+x^{2}} \quad em \quad(-\infty, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{\sin(x)}{1+x^{2}}
é limitada no domínio (-\infty,\infty).
Isso envolve o conceito de função limitada (existência de M>0 tal que \lvert f(x)\rvert\le M para todo x) e o uso de desigualdades básicas sobre \sin(x) e expressões quadráticas.

Passo 2

Recordamos a definição de função limitada: existe M>0 tal que, para todo x\in(-\infty,\infty),
\lvert f(x)\rvert\le M.

Passo 3

Para qualquer x temos \lvert \sin(x)\rvert\le1 e 1+x^{2}\ge1. Portanto,
\lvert f(x)\rvert =\frac{\lvert \sin(x)\rvert}{1+x^{2}} \le\frac{1}{1+x^{2}} \le1.

Passo 4

Bastou mostrar que \lvert f(x)\rvert\le1 para todo x. Logo, podemos escolher M=1 e concluir que f é limitada em (-\infty,\infty).

Resposta

A função é limitada, pois
\lvert f(x)\rvert\le1
para todo x\in(-\infty,\infty), de modo que basta M=1.

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