Prove que cada uma das transformações abaixo é linear.
T: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C} dada por T(x, y, z)=x+2 y+z i.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata T:\mathbb{C}^{3}\to\mathbb{C} definida por
T(x,y,z)=x+2y+zi.
O que se pede: provar que essa transformação é linear, ou seja, verificar que T satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar) para todos os vetores em \mathbb{C}^3 e todos os escalares em \mathbb{C}.

Passo 2

Lembrete do que significa “linear”: uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo (aqui \mathbb{C}) é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{C}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Vou verificar essas duas igualdades diretamente usando a fórmula dada para T. Também usarei propriedades básicas da adição e multiplicação em \mathbb{C}: distributividade, comutatividade e associatividade.

Passo 3

Sejam dois vetores genéricos em \mathbb{C}^3,
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
com x_j,y_j,z_j\in\mathbb{C}. Primeiro calculo T(u+v). O vetor soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T à soma:
T(u+v)=(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+i(z_1+z_2).
Agora uso distributividade e agrupamento para repartir os termos:
T(u+v)=\bigl(x_1+2y_1+i z_1\bigr)+\bigl(x_2+2y_2+i z_2\bigr).
Pela definição de T isso é exatamente
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade da aditividade está verificada.

Passo 4

Agora verifico a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{C} e tome u=(x_1,y_1,z_1) como antes. O produto escalar é
\alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1).
Aplicando T a \alpha u:
T(\alpha u)=\alpha x_1+2(\alpha y_1)+i(\alpha z_1).
Usando distributividade da multiplicação escalaresobre soma e associatividade, posso fatorar \alpha:
T(\alpha u)=\alpha\bigl(x_1+2y_1+i z_1\bigr).
Pela definição de T isso é
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Logo a propriedade de multiplicação por escalar também vale.

Passo 5

Como ambas as propriedades exigidas para linearidade foram satisfeitas (adição e homogeneidade), concluímos que T é uma transformação linear. Como observação extra (consequência imediata), T(0,0,0)=0, que é compatível com linearidade.

Resposta

T é linear.

Exercícios relacionados