Prove que cada uma das transformações abaixo é linear.
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
definida por
O que se pede: provar que essa transformação é linear, ou seja, verificar que
satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar) para todos os vetores em
e todos os escalares em
.
Passo 2
Lembrete do que significa “linear”: uma aplicação
entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo (aqui
) é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
e
Vou verificar essas duas igualdades diretamente usando a fórmula dada para
. Também usarei propriedades básicas da adição e multiplicação em
: distributividade, comutatividade e associatividade.
Passo 3
Sejam dois vetores genéricos em
,
com
. Primeiro calculo
. O vetor soma é
Aplicando
à soma:
Agora uso distributividade e agrupamento para repartir os termos:
Pela definição de
isso é exatamente
Portanto a propriedade da aditividade está verificada.
Passo 4
Agora verifico a homogeneidade. Seja
e tome
como antes. O produto escalar é
Aplicando
a
:
Usando distributividade da multiplicação escalaresobre soma e associatividade, posso fatorar
:
Pela definição de
isso é
Logo a propriedade de multiplicação por escalar também vale.
Passo 5
Como ambas as propriedades exigidas para linearidade foram satisfeitas (adição e homogeneidade), concluímos que
é uma transformação linear. Como observação extra (consequência imediata),
, que é compatível com linearidade.