Encontre a dimensão e uma base para o espaço de linhas \mathcal{L}(\mathcal{A}). Além disso, complete uma base para \mathbb{R}^{4} usando vetores de sua base canônica. A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontrar a dimensão de \mathcal{L}(\mathcal{A}) (o espaço gerado pelas linhas da matriz A) e apresentar uma base para \mathcal{L}(\mathcal{A}).
Completar essa base até uma base de \mathbb{R}^{4} usando vetores da base canônica.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
Operações elementares sobre linhas não mudam o espaço das linhas (ou seja, \mathcal{L}(A) é igual ao espaço das linhas da matriz obtida por eliminação).
A dimensão de \mathcal{L}(A) é o número de linhas não-nulas na forma escalonada reduzida por linhas (o posto, ou número de pivôs).]
Passo 2
Começo a reduzir A por eliminação gaussiana (vou mostrar todas as operações e resultados passo a passo). A matriz inicial é
Isso mostra já que só há, no máximo, dois pivôs (coluna 1 e coluna 2), então o posto é \le 2. Prosseguirei para a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) para obter uma base simples das linhas.]
Passo 4
Normalizo o pivô da segunda linha dividindo R_2 por 3:
O número de linhas não-nulas em \mathrm{RREF}(A) é 2. Portanto a dimensão de \mathcal{L}(\mathcal{A}) (posto da matriz) é \;2.
Além disso, as linhas não-nulas da \mathrm{RREF}(A) são vetores da forma
v_1=(1,0,1,0),\qquad v_2=(0,1,-1,-1),
e como operações de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas, \{v_1,v_2\} é uma base para \mathcal{L}(\mathcal{A}).
Explico por que é legítimo usar as linhas da \mathrm{RREF} como base:
Cada operação elementar de linha transforma o conjunto de linhas por uma combinação invertível; assim o espaço linear gerado pelas linhas permanece o mesmo. Em \mathrm{RREF} temos linhas não-nulas que são linearmente independentes e geram o espaço das linhas, portanto formam uma base.
Passo 6
Agora completo essa base até uma base de \mathbb{R}^{4} usando vetores da base canônica. A base canônica de \mathbb{R}^{4} é
Preciso escolher dois vetores canônicos que, juntos com v_1 e v_2, formem um conjunto linearmente independente de quatro vetores. Vou escolher e_3 e e_4 (por serem simples e funcionarem bem). Verificação rápida de independência (argumento direto):