Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto E. Prove que:
A \backslash(A \backslash B)=A \cap B.

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são subconjuntos de um conjunto E. Pede para provar a igualdade
A \backslash (A \backslash B) = A \cap B.
Informações relevantes:
  • As únicas coisas necessárias são os conjuntos A e B (o C foi mencionado mas não é usado na igualdade).
  • É preciso mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita são iguais. Uma forma padrão de provar igualdade de conjuntos é mostrar duas inclusões: (i) A \backslash (A \backslash B) \subseteq A \cap B e (ii) A \cap B \subseteq A \backslash (A \backslash B).

Passo 2

Lembrete das definições básicas que usaremos (explicadinhas):
  • Definição de diferença de conjuntos: para quaisquer conjuntos X,Y\subseteq E,
X\backslash Y = \{x\in E \mid x\in X \text{ e } x\notin Y\}.
Ou seja, x\in X\backslash Y significa simultaneamente “ x\in X” e “ x\notin Y”.
  • Definição de interseção: X\cap Y=\{x\in E \mid x\in X \text{ e } x\in Y\}.
  • No raciocínio elemento a elemento, uma prova de inclusão pega um elemento arbitrário do lado esquerdo e mostra que pertence ao lado direito.

Passo 3

Prova da inclusão \;A \backslash (A \backslash B) \subseteq A \cap B.
Tomemos um elemento arbitrário x e suponha
x\in A \backslash (A \backslash B).
Pelo significado de diferença, isso quer dizer que
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin (A \backslash B).
Agora, x\notin (A\backslash B) é a negação da afirmação " x\in A e x\notin B". Em lógica proposicional:
\neg\big( (x\in A)\land (x\notin B)\big) \iff (x\notin A)\lor (x\in B).
Portanto, a partir de x\in A e da disjunção (x\notin A)\lor(x\in B) obtemos, por distributividade da conjunção sobre a disjunção:
(x\in A)\land\big((x\notin A)\lor(x\in B)\big) \iff \big((x\in A)\land(x\notin A)\big)\lor\big((x\in A)\land(x\in B)\big).
O primeiro membro (x\in A)\land(x\notin A) é impossível (contradição), logo a única possibilidade verdadeira é (x\in A)\land(x\in B). Assim concluímos
x\in A \quad\text{e}\quad x\in B,
ou seja x\in A\cap B. Como x foi arbitrário, isto mostra
A \backslash (A \backslash B) \subseteq A \cap B.

Passo 4

Prova da inclusão \;A \cap B \subseteq A \backslash (A \backslash B).
Tomemos um elemento arbitrário x e suponha
x\in A\cap B.
Então x\in A e x\in B. Pelo significado de diferença, um elemento está em A\backslash B exatamente quando está em A e não está em B. Como aqui x\in B, não pode ocorrer que x\notin B; logo x\notin (A\backslash B). Reunindo com x\in A temos
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin (A\backslash B),
o que significa x\in A\backslash (A\backslash B). Como x foi arbitrário, obtemos
A\cap B \subseteq A \backslash (A \backslash B).

Passo 5

Como mostramos ambas as inclusões
A \backslash (A \backslash B) \subseteq A \cap B \qquad\text{e}\qquad A \cap B \subseteq A \backslash (A \backslash B),
concluímos pela definição de igualdade de conjuntos que
A \backslash (A \backslash B) = A \cap B.

Passo 6

(Alternativa via complementos e Leis de De Morgan — só para reforçar a intuição.)
Definindo o complemento relativo a E por B^{c}=E\backslash B, lembra-se que X\backslash Y = X\cap Y^{c}. Então
A\backslash(A\backslash B)=A\cap (A\cap B^{c})^{c}.
Pelas Leis de De Morgan (A\cap B^{c})^{c}=A^{c}\cup B. Assim
A\cap (A^{c}\cup B)=(A\cap A^{c})\cup (A\cap B)=\varnothing\cup (A\cap B)=A\cap B,
o que é a mesma identidade já demonstrada.

Resposta

A \backslash (A \backslash B) = A \cap B

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