Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são subconjuntos de um conjunto
. Pede para provar a igualdade
Informações relevantes:
- As únicas coisas necessárias são os conjuntos
e (o foi mencionado mas não é usado na igualdade). - É preciso mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita são iguais. Uma forma padrão de provar igualdade de conjuntos é mostrar duas inclusões: (i)
e (ii) .
Passo 2
Lembrete das definições básicas que usaremos (explicadinhas):
- Definição de diferença de conjuntos: para quaisquer conjuntos
,
Ou seja,
significa simultaneamente “
” e “
”.
- Definição de interseção:
. - No raciocínio elemento a elemento, uma prova de inclusão pega um elemento arbitrário do lado esquerdo e mostra que pertence ao lado direito.
Passo 3
Prova da inclusão
.
Tomemos um elemento arbitrário
e suponha
Pelo significado de diferença, isso quer dizer que
Agora,
é a negação da afirmação "
e
". Em lógica proposicional:
Portanto, a partir de
e da disjunção
obtemos, por distributividade da conjunção sobre a disjunção:
O primeiro membro
é impossível (contradição), logo a única possibilidade verdadeira é
. Assim concluímos
ou seja
. Como
foi arbitrário, isto mostra
Passo 4
Prova da inclusão
.
Tomemos um elemento arbitrário
e suponha
Então
e
. Pelo significado de diferença, um elemento está em
exatamente quando está em
e não está em
. Como aqui
, não pode ocorrer que
; logo
. Reunindo com
temos
o que significa
. Como
foi arbitrário, obtemos
Passo 5
Como mostramos ambas as inclusões
concluímos pela definição de igualdade de conjuntos que
Passo 6
(Alternativa via complementos e Leis de De Morgan — só para reforçar a intuição.)
Definindo o complemento relativo a por
, lembra-se que
. Então
Definindo o complemento relativo a
Pelas Leis de De Morgan
. Assim
o que é a mesma identidade já demonstrada.