(0,5) Prove que a capacidade calorífica a pressão constante é dada por (2).
C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que temos como dados. O pedido é provar a identidade
C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver nada ainda): \n
  1. Entalpia é definida como \displaystyle H=U+PV, onde \displaystyle U é a energia interna, \displaystyle P a pressão e \displaystyle V o volume. \n
  2. Primeira lei da termodinâmica (com trabalho de pressão-volume) relaciona variação de energia interna com calor e trabalho: vamos usar sua forma diferencial. \n
  3. Para processos reversíveis temos a relação \displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=T\,dS, onde \displaystyle S é a entropia e \displaystyle T a temperatura. \n
  4. A capacidade calorífica a pressão constante é definida (no contexto termodinâmico padrão) como o calor necessário por unidade de variação de temperatura em processo a pressão constante; formalmente usaremos
C_{P}\equiv\left(\frac{\delta Q}{\partial T}\right)_{P},
tomando \delta Q como o calor reversível quando necessário. \n
A partir daqui vamos mostrar passo a passo como combinar essas relações para chegar à igualdade pedida.

Passo 2

Vou lembrar e explicar melhor a definição de entalpia e porque ela é útil. \n
A entalpia é a função de estado
H=U+PV.
Isso significa que \displaystyle H depende só do estado do sistema (por exemplo T e P ou T e V), não do caminho. \n
Aqui: \displaystyle U = energia interna (energia do sistema), \displaystyle P = pressão do sistema, \displaystyle V = volume do sistema. A entalpia foi criada porque, em muitos processos à pressão constante, a variação de entalpia coincide com o calor trocado — vamos demonstrar exatamente isso.

Passo 3

Agora escrevo a forma apropriada da primeira lei. Para trabalho de expansão (PV work) e em forma diferencial:
dU=\delta Q - P\,dV,
onde \delta Q é o calor trocado (não é diferencial exato) e -P\,dV é o trabalho de expansão realizado pelo sistema. \n
Se o processo for reversível e quasi-estático, podemos usar a relação termodinâmica fundamental
dU=T\,dS-P\,dV,
porque para processos reversíveis \delta Q_{\text{rev}}=T\,dS. Aqui \displaystyle S é entropia e \displaystyle T temperatura.

Passo 4

Calculo o diferencial de \displaystyle H. Usando \displaystyle H=U+PV, temos
dH=dU+d(PV).
Expandindo o último termo:
d(PV)=P\,dV+V\,dP.
Substituindo dU pela forma T\,dS-P\,dV (válida para processos reversíveis), obtemos
dH=(T\,dS-P\,dV)+(P\,dV+V\,dP).
Agora note que os termos -P\,dV e +P\,dV se cancelam, ficando
dH=T\,dS+V\,dP.
Essa relação é muito importante: ela mostra como a variação infinitesimal de entalpia se expressa em termos de dS e dP.

Passo 5

Especializo à condição pedido: pressão constante. Se a pressão é mantida constante, \displaystyle dP=0. Substituindo em dH
\left.dH\right|_{P}=T\,dS.
Para processos reversíveis temos \displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=T\,dS. Portanto, sob pressão constante
\left.dH\right|_{P}=\delta Q_{\text{rev}}.
Isto diz: a variação de entalpia numa mudança infinitesimal sob pressão constante é igual ao calor trocado (reversivelmente).

Passo 6

Finalmente, aplico a definição de capacidade calorífica a pressão constante. Tomando a definição (reversível) \displaystyle C_{P}\equiv\left(\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{\partial T}\right)_{P}, e usando \displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=\left.dH\right|_{P}, obtemos
C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}.
Uma forma equivalente, útil pedagogicamente, é escrever
C_{P}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},
obtida combinando \left.dH\right|_{P}=T\,dS e dividindo por dT em pressão constante. Ambas as formas são consistentes.

Resposta

C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}

Exercícios relacionados