( 4,5 pontos) Um corpo sólido de densidade
é colocado em um fluido. Em equilíbrio estático, verifica-se que dois terços de seu volume total
estão submersos.
(a) Determine a densidade,
, do fluido.
(b) Encontre a massa
que deve ser colocada sobre o corpo para que o corpo esteja totalmente submerso, mas flutuando na superficie (isto é, a massa adicionado ao topo do objeto nāo deve ficar submersa). Expresse seu resultado em termos de
, e resolva para o caso particular em que
.
(c) Descreva o comportamento esperado (afunda, flutua parcialmente ou flutua totalmente submerso) deste corpo se ele for colocado em um recipiente contendo água, cuja densidade é
. Justifique sua resposta com base na comparação das densidades.
(a) Determine a densidade,
(b) Encontre a massa
(c) Descreva o comportamento esperado (afunda, flutua parcialmente ou flutua totalmente submerso) deste corpo se ele for colocado em um recipiente contendo água, cuja densidade é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
- A densidade do corpo sólido é
. - O volume total do corpo é
. - Em equilíbrio estático, dois terços do volume do corpo estão submersos, isto é, o volume submerso é
. - No item (c) a densidade da água do recipiente é
. - No item (b) pede-se expressão em termos de
e depois calcular para o caso particular (assumi que a unidade é , conforme o contexto).
Perguntas:
(a) Determinar a densidade do fluido onde, em equilíbrio,
do volume está submerso.
(b) Encontrar a massa a ser colocada sobre o corpo para que ele fique totalmente submerso mas ainda flutuando na superfície (isto é, o corpo inteiro submerso enquanto o peso adicional não entra no fluido). Expressar
em termos de
e calcular para
.
(c) Descrever o comportamento do corpo se colocado em água com , justificando pela comparação de densidades.
(a) Determinar a densidade
(b) Encontrar a massa
(c) Descrever o comportamento do corpo se colocado em água com
Passo 2
Conceitos fundamentais (aulas rápidas e didáticas):
- Força de empuxo (princípio de Arquimedes): um corpo imerso em um fluido sofre uma força vertical para cima igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
- Fórmula do empuxo:
onde
é a densidade do fluido,
é o volume de fluido deslocado (equivalente ao volume submerso do corpo) e
é a aceleração da gravidade (que aparece tanto no empuxo quanto no peso e geralmente se cancela em equações de equilíbrio).
- Condição de equilíbrio flutuante (sem aceleração vertical): o empuxo equilibra o peso total. Se o corpo sozinho flutua parcialmente, temos
Como
, podemos simplificar
e trabalhar apenas com densidades e volumes.
- Fração submersa: a razão
em equilíbrio vale . Isso vem de rearranjar e é muito útil para raciocinar qualitativamente: se o corpo flutua parcialmente; se o corpo fica totalmente submerso (neutra); se o corpo afunda.
Passo 3
Resolvendo (a) — determinar
:
Do equilíbrio inicial sabemos que o volume submerso é
. Aplicamos a condição de equilíbrio sem aceleração (empuxo = peso do corpo):
Cancelando
em ambos os lados e substituindo
,
Dividindo por
e isolando
,
Substituindo
,
Comentário didático: significa que o fluido é mais denso que a água (1500 em vez de 1000), por isso o corpo, de densidade 1000, flutua com apenas
do volume submerso.
Passo 4
Resolvendo (b) — massa adicional
para que o corpo fique totalmente submerso e ainda flutue na superfície:
Interpretação cuidadosa: “totalmente submerso, mas flutuando na superfície” significa que o corpo está completamente imerso (
) e a condição de equilíbrio é mantida, ou seja o empuxo iguala o peso combinado do corpo mais a massa
colocada sobre ele (essa massa fica acima da superfície do fluido, não imersa). Assim:
onde
é a massa do corpo. Cancelando
,
Mas
. Então isolamos
:
Comentário didático: essa fórmula faz sentido fisicamente — a massa extra necessária é justamente a diferença entre o peso do fluido que passa a ser deslocado quando o corpo fica totalmente submerso e o peso original do corpo.
Passo 5
Aplicando números em (b):
Usando
(resultado do item (a)) e
,
Este é o resultado geral em termos de
.
Agora calculamos para o caso particular
. Substituindo,
Mostrei a multiplicação:
.
Passo 6
Resolvendo (c) — comportamento do corpo colocado em água com
:
Comparação direta: a densidade do corpo é
(dado) e a densidade da água é
. Como
, a fração submersa em equilíbrio é
Logo o corpo ficará totalmente submerso. Interpretação física: ele será neutro—ou seja, quando totalmente submerso o empuxo iguala exatamente seu peso; portanto ele não tende a subir nem a afundar (se não houver perturbações, correntes, etc.). Em termos práticos, isso significa que o corpo “flutua” mas completamente submerso (não terá parte emergida) — costuma-se dizer que ele é neutro ou em equilíbrio indiferente.
Passo 7
Resumo conceitual final e dica para prova:
- Use sempre o princípio de Arquimedes: empuxo = peso do fluido deslocado.
- Em problemas de equilíbrio vertical cancele
e trabalhe com densidades e volumes. - A fração submersa é
: isso dá uma leitura rápida do comportamento sem fazer contas longas. - Se o enunciado pede “totalmente submerso mas flutuando”, traduza isso para
e aplique empuxo = peso total.
Resposta
(a)
\n
(b) ; para
,
\n
(c) Como , o corpo ficará totalmente submerso e será neutro (empuxo igual ao peso): não tende a subir nem a afundar.
(b)
(c) Como