( 4,5 pontos) Um corpo sólido de densidade \rho_{1}=1000,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} é colocado em um fluido. Em equilíbrio estático, verifica-se que dois terços de seu volume total V_{T} estão submersos.
(a) Determine a densidade, \rho_{f}, do fluido.
(b) Encontre a massa m_{2} que deve ser colocada sobre o corpo para que o corpo esteja totalmente submerso, mas flutuando na superficie (isto é, a massa adicionado ao topo do objeto nāo deve ficar submersa). Expresse seu resultado em termos de V_{T}, e resolva para o caso particular em que V_{T}=0,008 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(c) Descreva o comportamento esperado (afunda, flutua parcialmente ou flutua totalmente submerso) deste corpo se ele for colocado em um recipiente contendo água, cuja densidade é \rho_{\mathrm{a}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Justifique sua resposta com base na comparação das densidades.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
  • A densidade do corpo sólido é \rho_{1}=1000,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • O volume total do corpo é V_{T}.
  • Em equilíbrio estático, dois terços do volume do corpo estão submersos, isto é, o volume submerso é \dfrac{2}{3}V_{T}.
  • No item (c) a densidade da água do recipiente é \rho_{\mathrm{a}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • No item (b) pede-se expressão em termos de V_{T} e depois calcular para o caso particular V_{T}=0,008\\ \mathrm{m}^{3} (assumi que a unidade é \mathrm{m}^{3}, conforme o contexto).
Perguntas:
(a) Determinar a densidade \rho_{f} do fluido onde, em equilíbrio, 2/3 do volume está submerso.
(b) Encontrar a massa m_{2} a ser colocada sobre o corpo para que ele fique totalmente submerso mas ainda flutuando na superfície (isto é, o corpo inteiro submerso enquanto o peso adicional não entra no fluido). Expressar m_{2} em termos de V_{T} e calcular para V_{T}=0,008\\ \mathrm{m}^{3}.
(c) Descrever o comportamento do corpo se colocado em água com \rho_{\mathrm{a}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, justificando pela comparação de densidades.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aulas rápidas e didáticas):
  • Força de empuxo (princípio de Arquimedes): um corpo imerso em um fluido sofre uma força vertical para cima igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
  • Fórmula do empuxo: F_{b}=\rho_{f} V_{\text{disp}} g
onde \rho_{f} é a densidade do fluido, V_{\text{disp}} é o volume de fluido deslocado (equivalente ao volume submerso do corpo) e g é a aceleração da gravidade (que aparece tanto no empuxo quanto no peso e geralmente se cancela em equações de equilíbrio).
  • Condição de equilíbrio flutuante (sem aceleração vertical): o empuxo equilibra o peso total. Se o corpo sozinho flutua parcialmente, temos \rho_{f} V_{\text{disp}} g = m_{\text{corpo}} g.
Como m_{\text{corpo}}=\rho_{1} V_{T}, podemos simplificar g e trabalhar apenas com densidades e volumes.
  • Fração submersa: a razão \dfrac{V_{\text{disp}}}{V_{T}} em equilíbrio vale \dfrac{\rho_{1}}{\rho_{f}}. Isso vem de rearranjar \rho_{f} V_{\text{disp}} = \rho_{1} V_{T} e é muito útil para raciocinar qualitativamente: se \rho_{1}<\rho_{f} o corpo flutua parcialmente; se \rho_{1}=\rho_{f} o corpo fica totalmente submerso (neutra); se \rho_{1}>\rho_{f} o corpo afunda.

Passo 3

Resolvendo (a) — determinar \rho_{f}:
Do equilíbrio inicial sabemos que o volume submerso é V_{\text{disp}}=\dfrac{2}{3}V_{T}. Aplicamos a condição de equilíbrio sem aceleração (empuxo = peso do corpo):
\rho_{f} V_{\text{disp}} g = \rho_{1} V_{T} g.
Cancelando g em ambos os lados e substituindo V_{\text{disp}},
\rho_{f}\left(\dfrac{2}{3}V_{T}\right)=\rho_{1} V_{T}.
Dividindo por V_{T} e isolando \rho_{f},
\rho_{f}=\rho_{1}\cdot \dfrac{V_{T}}{\tfrac{2}{3}V_{T}}=\rho_{1}\cdot \dfrac{1}{2/3}=\rho_{1}\cdot \dfrac{3}{2}.
Substituindo \rho_{1}=1000,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},
\rho_{f}=1000,0\cdot \dfrac{3}{2}=1500,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Comentário didático: significa que o fluido é mais denso que a água (1500 em vez de 1000), por isso o corpo, de densidade 1000, flutua com apenas 2/3 do volume submerso.

Passo 4

Resolvendo (b) — massa adicional m_{2} para que o corpo fique totalmente submerso e ainda flutue na superfície:
Interpretação cuidadosa: “totalmente submerso, mas flutuando na superfície” significa que o corpo está completamente imerso ( V_{\text{disp}}=V_{T}) e a condição de equilíbrio é mantida, ou seja o empuxo iguala o peso combinado do corpo mais a massa m_{2} colocada sobre ele (essa massa fica acima da superfície do fluido, não imersa). Assim:
\rho_{f} V_{T} g = \bigl(m_{1}+m_{2}\bigr) g,
onde m_{1} é a massa do corpo. Cancelando g,
\rho_{f} V_{T} = m_{1}+m_{2}.
Mas m_{1}=\rho_{1} V_{T}. Então isolamos m_{2}:
m_{2}=\rho_{f} V_{T}-\rho_{1} V_{T}=(\rho_{f}-\rho_{1})V_{T}.
Comentário didático: essa fórmula faz sentido fisicamente — a massa extra necessária é justamente a diferença entre o peso do fluido que passa a ser deslocado quando o corpo fica totalmente submerso e o peso original do corpo.

Passo 5

Aplicando números em (b):
Usando \rho_{f}=1500,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (resultado do item (a)) e \rho_{1}=1000,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},
m_{2}=(1500,0-1000,0)\,V_{T}=500,0\\ V_{T}.
Este é o resultado geral em termos de V_{T}.
Agora calculamos para o caso particular V_{T}=0,008\\ \mathrm{m}^{3}. Substituindo,
m_{2}=500,0\times 0,008=4,0\\ \mathrm{kg}.
Mostrei a multiplicação: 500\times 0,008=500\times 8\times 10^{-3}=4000\times 10^{-3}=4.

Passo 6

Resolvendo (c) — comportamento do corpo colocado em água com \rho_{\mathrm{a}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}:
Comparação direta: a densidade do corpo é \rho_{1}=1000,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (dado) e a densidade da água é \rho_{\mathrm{a}}=1000,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}. Como \rho_{1}=\rho_{\mathrm{a}}, a fração submersa em equilíbrio é
\frac{V_{\text{disp}}}{V_{T}}=\frac{\rho_{1}}{\rho_{\mathrm{a}}}=1.
Logo o corpo ficará totalmente submerso. Interpretação física: ele será neutro—ou seja, quando totalmente submerso o empuxo iguala exatamente seu peso; portanto ele não tende a subir nem a afundar (se não houver perturbações, correntes, etc.). Em termos práticos, isso significa que o corpo “flutua” mas completamente submerso (não terá parte emergida) — costuma-se dizer que ele é neutro ou em equilíbrio indiferente.

Passo 7

Resumo conceitual final e dica para prova:
  • Use sempre o princípio de Arquimedes: empuxo = peso do fluido deslocado.
  • Em problemas de equilíbrio vertical cancele g e trabalhe com densidades e volumes.
  • A fração submersa é \rho_{1}/\rho_{f}: isso dá uma leitura rápida do comportamento sem fazer contas longas.
  • Se o enunciado pede “totalmente submerso mas flutuando”, traduza isso para V_{\text{disp}}=V_{T} e aplique empuxo = peso total.

Resposta

(a) \rho_{f}=1500,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\n
(b) m_{2}=(\rho_{f}-\rho_{1})V_{T}=500,0\,V_{T}; para V_{T}=0,008\\ \mathrm{m}^{3}, m_{2}=4,0\\ \mathrm{kg}\n
(c) Como \rho_{1}=\rho_{\mathrm{a}}=1000,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, o corpo ficará totalmente submerso e será neutro (empuxo igual ao peso): não tende a subir nem a afundar.

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