Pergunta clara: mostrar por que a derivada parcial de U em relação a T, mantendo V fixo, é igual à capacidade calorífica medida quando o processo ocorre a volume constante. Informações implícitas que usaremos (fornecidas pelo enunciado típico deste tipo de problema): U é a energia interna do sistema, T é a temperatura, V é o volume, e a definição usual de capacidade calorífica em um processo é baseada na quantidade de calor trocada \delta Q quando a temperatura varia. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; não começarei a desenvolver a prova ainda.
Passo 2
Definição de capacidade calorífica a volume constante (aula rápida e intuitiva): a capacidade calorífica é a razão entre a quantidade de calor fornecida ao sistema e a variação de temperatura que essa entrada de calor provoca. Em notação diferencial, a capacidade calorífica a volume constante é definida por
onde \delta Q é o calor trocado no processo e o subíndice _{V} indica que a razão é tomada para processos nos quais V é mantido constante. Observação didática: usamos \delta Q (e não dQ) para lembrar que calor não é uma função de estado; \delta Q depende do caminho do processo.
Passo 3
Lembrete do primeiro princípio da termodinâmica (aula curta): para uma mudança infinitesimal de estado, a variação da energia interna U é dada por
\mathrm{d}U = \delta Q - \delta W.
Aqui \mathrm{d}U é um diferencial exato (porque U é função de estado), \delta Q é o calor trocado e \delta W é o trabalho realizado pelo sistema. Explico cada símbolo: \mathrm{d}U é a pequena variação da energia interna; \delta Q é o calor fornecido ao sistema; \delta W é o trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente.
Passo 4
Expressão do trabalho mecânico em processos quasistáticos e consequência para volume constante: para transformações quasistáticas (ou reversíveis) envolvendo apenas trabalho de pressão-volume, o trabalho elementar é
\delta W = P\,\mathrm{d}V,
onde P é a pressão do sistema e \mathrm{d}V é a variação de volume. Agora, se o processo ocorre a volume constante, temos \mathrm{d}V=0, logo
\delta W\big|_{V=\text{const}} = P\cdot 0 = 0.
Comentário pedagógico: isso significa que, ao manter o volume fixo, nenhuma energia é gasta em trabalho P\,\mathrm{d}V; toda a energia recebida como calor altera somente a energia interna.
Passo 5
Combinação do primeiro princípio com o fato \delta W=0 a volume constante: substituindo \delta W=0 em \mathrm{d}U = \delta Q - \delta W obtemos, para um processo a V fixo,
Isto é, a variação da energia interna é igual ao calor trocado quando o volume não varia. Esse é o ponto chave: a mudança de U captura exatamente o calor recebido no processo isocórico.
Passo 6
Expressar \mathrm{d}U em termos de derivadas parciais (noção e aplicação): como U é função de estado que geralmente depende de pelo menos T e V, podemos escrever o diferencial total
Explicação passo a passo: essa fórmula resulta da expansão de U(T,V) em diferencial total — (\partial U/\partial T)_V é a derivada parcial de U em relação a T mantendo V fixo, e (\partial U/\partial V)_T é a derivada parcial de U em relação a V mantendo T fixo. Agora impondo V= constante (portanto \mathrm{d}V=0) a expressão simplifica para
Concluir a igualdade entre definição de C_{V} e a derivada parcial: juntando o que obtivemos nos passos anteriores — em especial \mathrm{d}U\big|_{V} = \delta Q\big|_{V} (Passo 5) e \mathrm{d}U\big|_{V} = (\partial U/\partial T)_{V}\mathrm{d}T (Passo 6) — temos
Interpretação final: a capacidade calorífica a volume constante é justamente a taxa de variação da energia interna com a temperatura quando o volume é mantido fixo. Isso faz sentido fisicamente: em isocoria todo o calor entra na energia interna, por isso a relação direta.
Passo 8
Observações finais úteis para prova e memória (didática, resumo e exemplo): (i) a prova usou apenas o primeiro princípio e o fato \delta W=P\,\mathrm{d}V para trabalho de compressão, mais a definição de capacidade calorífica. (ii) Para um gás ideal monoatômico sabemos que U depende só de T, então (\partial U/\partial T)_V é igual a dU/dT e dá o valor famoso C_V=\tfrac{3}{2}nR (exemplo concreto). (iii) Lembre-se de que \delta Q não é diferencial exato, mas \mathrm{d}U é; é por isso que usamos derivadas parciais de U no lado direito.