(0,2) Prove que a capacidade calorífica a volume constante é dada por (1).
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}

Passo 1

O enunciado pede para provar que a capacidade calorífica a volume constante é dada por
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}.
Pergunta clara: mostrar por que a derivada parcial de U em relação a T, mantendo V fixo, é igual à capacidade calorífica medida quando o processo ocorre a volume constante. Informações implícitas que usaremos (fornecidas pelo enunciado típico deste tipo de problema): U é a energia interna do sistema, T é a temperatura, V é o volume, e a definição usual de capacidade calorífica em um processo é baseada na quantidade de calor trocada \delta Q quando a temperatura varia. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; não começarei a desenvolver a prova ainda.

Passo 2

Definição de capacidade calorífica a volume constante (aula rápida e intuitiva): a capacidade calorífica é a razão entre a quantidade de calor fornecida ao sistema e a variação de temperatura que essa entrada de calor provoca. Em notação diferencial, a capacidade calorífica a volume constante é definida por
C_{V} \equiv \left(\frac{\delta Q}{\mathrm{d}T}\right)_{V},
onde \delta Q é o calor trocado no processo e o subíndice _{V} indica que a razão é tomada para processos nos quais V é mantido constante. Observação didática: usamos \delta Q (e não dQ) para lembrar que calor não é uma função de estado; \delta Q depende do caminho do processo.

Passo 3

Lembrete do primeiro princípio da termodinâmica (aula curta): para uma mudança infinitesimal de estado, a variação da energia interna U é dada por
\mathrm{d}U = \delta Q - \delta W.
Aqui \mathrm{d}U é um diferencial exato (porque U é função de estado), \delta Q é o calor trocado e \delta W é o trabalho realizado pelo sistema. Explico cada símbolo: \mathrm{d}U é a pequena variação da energia interna; \delta Q é o calor fornecido ao sistema; \delta W é o trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente.

Passo 4

Expressão do trabalho mecânico em processos quasistáticos e consequência para volume constante: para transformações quasistáticas (ou reversíveis) envolvendo apenas trabalho de pressão-volume, o trabalho elementar é
\delta W = P\,\mathrm{d}V,
onde P é a pressão do sistema e \mathrm{d}V é a variação de volume. Agora, se o processo ocorre a volume constante, temos \mathrm{d}V=0, logo
\delta W\big|_{V=\text{const}} = P\cdot 0 = 0.
Comentário pedagógico: isso significa que, ao manter o volume fixo, nenhuma energia é gasta em trabalho P\,\mathrm{d}V; toda a energia recebida como calor altera somente a energia interna.

Passo 5

Combinação do primeiro princípio com o fato \delta W=0 a volume constante: substituindo \delta W=0 em \mathrm{d}U = \delta Q - \delta W obtemos, para um processo a V fixo,
\mathrm{d}U\big|_{V=\text{const}} = \delta Q\big|_{V=\text{const}}.
Isto é, a variação da energia interna é igual ao calor trocado quando o volume não varia. Esse é o ponto chave: a mudança de U captura exatamente o calor recebido no processo isocórico.

Passo 6

Expressar \mathrm{d}U em termos de derivadas parciais (noção e aplicação): como U é função de estado que geralmente depende de pelo menos T e V, podemos escrever o diferencial total
\mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\mathrm{d}V.
Explicação passo a passo: essa fórmula resulta da expansão de U(T,V) em diferencial total — (\partial U/\partial T)_V é a derivada parcial de U em relação a T mantendo V fixo, e (\partial U/\partial V)_T é a derivada parcial de U em relação a V mantendo T fixo. Agora impondo V= constante (portanto \mathrm{d}V=0) a expressão simplifica para
\mathrm{d}U\big|_{V=\text{const}} = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\mathrm{d}T.

Passo 7

Concluir a igualdade entre definição de C_{V} e a derivada parcial: juntando o que obtivemos nos passos anteriores — em especial \mathrm{d}U\big|_{V} = \delta Q\big|_{V} (Passo 5) e \mathrm{d}U\big|_{V} = (\partial U/\partial T)_{V}\mathrm{d}T (Passo 6) — temos
\delta Q\big|_{V} = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\mathrm{d}T.
Dividindo ambos os lados por \mathrm{d}T e lembrando a definição de C_{V} dada no Passo 2, obtemos
C_{V} = \left(\frac{\delta Q}{\mathrm{d}T}\right)_{V} = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}.
Interpretação final: a capacidade calorífica a volume constante é justamente a taxa de variação da energia interna com a temperatura quando o volume é mantido fixo. Isso faz sentido fisicamente: em isocoria todo o calor entra na energia interna, por isso a relação direta.

Passo 8

Observações finais úteis para prova e memória (didática, resumo e exemplo): (i) a prova usou apenas o primeiro princípio e o fato \delta W=P\,\mathrm{d}V para trabalho de compressão, mais a definição de capacidade calorífica. (ii) Para um gás ideal monoatômico sabemos que U depende só de T, então (\partial U/\partial T)_V é igual a dU/dT e dá o valor famoso C_V=\tfrac{3}{2}nR (exemplo concreto). (iii) Lembre-se de que \delta Q não é diferencial exato, mas \mathrm{d}U é; é por isso que usamos derivadas parciais de U no lado direito.

Resposta

C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}

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