Prove que o conjunto L \subset M_{n}(\mathbb{R}) das matrizes triangulares inferiores é um subespaço vetorial, obtenha uma base para L e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define em \,M_{n}(\mathbb{R}) o subconjunto
L = \{A = (a_{ij}) \mid a_{ij}=0\text{ sempre que }j>i\},
isto é, as matrizes triangulares inferiores. O conteúdo é subespaço vetorial de matrizes. Para resolver, vamos (1) mostrar que L é subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}), (2) encontrar uma base natural para L e (3) calcular sua dimensão.

Passo 2

Para provar que L é subespaço vetorial, checamos três propriedades:
  1. Zero em L: a matriz nula 0 tem todas as entradas 0, em particular todas acima da diagonal também são 0, logo 0\in L.
  2. Fechamento em soma: se A,B\in L, então para todo i<j temos a_{ij}=0 e b_{ij}=0. Logo (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=0 sempre que j>i, ou seja, A+B\in L.
  3. Fechamento em escalar: se A\in L e \lambda\in\mathbb{R}, então (\lambda A)_{ij}=\lambda\,a_{ij}=0 sempre que j>i. Assim \lambda A\in L.
Como essas três condições valem, L é um subespaço de M_{n}(\mathbb{R}).

Passo 3

Vamos propor como base do subespaço L a coleção
\{E_{ij} \mid 1\le j\le i\le n\},
onde E_{ij} é a matriz que tem 1 na posição (i,j) e 0 em todas as outras.
Geração: dada qualquer matriz A=(a_{ij})\in L, podemos escrevê-la unicamente como
A \;=\;\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_{ij}\,E_{ij},
pois só aparecem coeficientes nos índices com j\le i.
Independência: se \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}c_{ij}\,E_{ij}=0,
então olhando a entrada (i,j) obtemos c_{ij}=0 para todo j\le i. Logo os E_{ij} são linearmente independentes.

Passo 4

Para contar quantos vetores tem essa base, note que para cada i de 1 até n o índice j varia de 1 até i. Logo o número total de pares (i,j) com 1\le j\le i\le n é
1 + 2 + 3 + \cdots + n \;=\;\frac{n(n+1)}{2}.
Portanto a dimensão de L é \tfrac{n(n+1)}{2}.

Resposta

A base de L é
\{E_{ij}\mid 1\le j\le i\le n\},
e \dim L = \frac{n(n+1)}{2}.

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