Prove que o conjunto
das matrizes triangulares inferiores é um subespaço vetorial, obtenha uma base para
e determine sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define em
o subconjunto
isto é, as matrizes triangulares inferiores. O conteúdo é subespaço vetorial de matrizes. Para resolver, vamos (1) mostrar que
é subespaço vetorial de
, (2) encontrar uma base natural para
e (3) calcular sua dimensão.
Passo 2
Para provar que
é subespaço vetorial, checamos três propriedades:
- Zero em
: a matriz nula tem todas as entradas , em particular todas acima da diagonal também são , logo . - Fechamento em soma: se
, então para todo temos e . Logo sempre que , ou seja, . - Fechamento em escalar: se
e , então sempre que . Assim .
Como essas três condições valem,
é um subespaço de
.
Passo 3
Vamos propor como base do subespaço
a coleção
onde
é a matriz que tem
na posição
e
em todas as outras.
Geração: dada qualquer matriz
, podemos escrevê-la unicamente como
pois só aparecem coeficientes nos índices com
.
Independência: se
,
então olhando a entrada obtemos
para todo
. Logo os
são linearmente independentes.
então olhando a entrada
Passo 4
Para contar quantos vetores tem essa base, note que para cada
de
até
o índice
varia de
até
. Logo o número total de pares
com
é
Portanto a dimensão de
é
.
Resposta
A base de
é
e