Verifique se as transformações abaixo são lineares:
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, F(x, y, z)=x+5 y-z.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},\quad F(x,y,z)=x+5y-z
e pede para verificar se F é linear. Para isso, vamos usar as definições de aditividade e homogeneidade de uma transformação linear.

Passo 2

(Aditividade) Seja \mathbf u=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf v=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3. Então
F(\mathbf u+\mathbf v) =F\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\bigr) =(x_1+x_2)+5(y_1+y_2)-(z_1+z_2)
\;=\bigl(x_1+5y_1-z_1\bigr)+\bigl(x_2+5y_2-z_2\bigr) =F(\mathbf u)+F(\mathbf v).

Passo 3

(Homogeneidade) Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf u=(x,y,z). Então
F\bigl(\lambda\mathbf u\bigr) =F(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z) =\lambda x+5\,\lambda y-\lambda z =\lambda\,(x+5y-z) =\lambda\,F(\mathbf u).

Passo 4

Como F satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que F é linear.

Resposta

Sim. F é uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}.

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