Sejam m, n, p \in \mathbb{N} tais que m+n=m+p. Prove que n=p.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • m,n,p\in\mathbb{N}.
  • Está satisfeita a igualdade \,m+n=m+p.
    O que se pede:
  • Provar que \,n=p.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades fundamentais da adição nos naturais (essas são as que vamos usar; aparecem nas definições axiomáticas de \mathbb{N}):
  • Existe o elemento 0\in\mathbb{N} tal que \,0+x=x para todo x\in\mathbb{N}.
  • Se S(x) denota o sucessor de x (isto é, S(x)=x+1), a adição é definida recursivamente por:
a+0=a, \qquad a+S(b)=S(a+b).
  • O mapa sucessor é injetivo: se S(a)=S(b) então a=b. (Isto faz parte das propriedades básicas dos naturais.)
    Essas três ideias bastam para provar a propriedade de cancelamento que queremos.

Passo 3

Escolhemos provar o resultado por indução em m. Primeiro a base da indução: o caso m=0.
Caso m=0. A hipótese fica
0+n=0+p.
Pela propriedade do 0 como elemento neutro da adição temos 0+n=n e 0+p=p. Portanto
n=p.
Logo o resultado é verdadeiro para m=0.

Passo 4

Passo indutivo — enunciando a hipótese de indução. Suponha que para um natural fixo m vale a propriedade:
\text{se }m+n=m+p\text{ então }n=p.ã
Queremos mostrar que a propriedade também vale para S(m) (ou seja, para m+1).

Passo 5

Considere a hipótese para S(m):
S(m)+n = S(m)+p.
Pela definição recursiva da adição temos
S(m)+n = S(m+n) \qquad\text{e}\qquad S(m)+p = S(m+p).
Assim a igualdade anterior vira
S(m+n)=S(m+p).

Passo 6

Usando a injetividade do sucessor, de S(m+n)=S(m+p) segue que
m+n=m+p.

Passo 7

Agora aplicamos a hipótese indutiva (formulada no Passo 4): da igualdade m+n=m+p obtemos n=p. Isso conclui a etapa indutiva: se a propriedade vale para m, então vale para S(m).

Passo 8

Pelo princípio da indução matemática, pela base do Passo 3 e pela etapa indutiva dos Passos 4–7, a propriedade é verdadeira para todo m\in\mathbb{N}. Portanto, sempre que m+n=m+p com m,n,p\in\mathbb{N} segue que n=p.

Resposta

n=p

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