Sejam
tais que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. - Está satisfeita a igualdade
.
O que se pede: - Provar que
.
Passo 2
Vamos lembrar propriedades fundamentais da adição nos naturais (essas são as que vamos usar; aparecem nas definições axiomáticas de
):
- Existe o elemento
tal que para todo . - Se
denota o sucessor de (isto é, ), a adição é definida recursivamente por:
- O mapa sucessor é injetivo: se
então . (Isto faz parte das propriedades básicas dos naturais.)
Essas três ideias bastam para provar a propriedade de cancelamento que queremos.
Passo 3
Escolhemos provar o resultado por indução em
. Primeiro a base da indução: o caso
.
Caso
. A hipótese fica
Pela propriedade do
como elemento neutro da adição temos
e
. Portanto
Logo o resultado é verdadeiro para
.
Passo 4
Passo indutivo — enunciando a hipótese de indução. Suponha que para um natural fixo
vale a propriedade:
Queremos mostrar que a propriedade também vale para
(ou seja, para
).
Passo 5
Considere a hipótese para
:
Pela definição recursiva da adição temos
Assim a igualdade anterior vira
Passo 6
Usando a injetividade do sucessor, de
segue que
Passo 7
Agora aplicamos a hipótese indutiva (formulada no Passo 4): da igualdade
obtemos
. Isso conclui a etapa indutiva: se a propriedade vale para
, então vale para
.
Passo 8
Pelo princípio da indução matemática, pela base do Passo 3 e pela etapa indutiva dos Passos 4–7, a propriedade é verdadeira para todo
. Portanto, sempre que
com
segue que
.