- Prove, por contraposição, que dado
e
é divisível por 4, então
é par.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Dado
. - Hipótese que aparece no enunciado:
é divisível por 4, ou seja, . - Afirmação a demonstrar: a partir de
provar que é par (ou seja, ).
Portanto a tarefa é provar a implicação
Passo 2
Ideia do método por contraposição (explicação didática):
- Uma implicação lógica
é equivalente à sua contrapositiva . Ou seja, provar é o mesmo que provar que, se é falso então também é falso. - Aqui
é a afirmação “ ” e é “ ”. A contrapositiva é: - Vou provar essa contrapositiva: mostrar que qualquer inteiro ímpar tem quadrado que não é múltiplo de 4. Isso implica a afirmação original.
Passo 3
Definições e ferramentas básicas (para usar na prova e na prova na prova da prova — brincadeira, mas importante!):
- Dizemos que
é par se existe tal que . Dizemos que é ímpar se existe tal que . - Dizemos que
(lê-se "4 divide ") se existe tal que . - Estratégia: assumir
ímpar, escrever , calcular e ver sua forma em relação a múltiplos de 4.
Passo 4
Prova algébrica da contrapositiva (passo a passo das contas):
- Assuma
ímpar; então existe com . - Calcule o quadrado:
- Factorize um 4 onde dá:
- Note que
é um número inteiro, logo . Isso significa que ao dividir por 4 o resto é . - Conclusão desta etapa:
NÃO é múltiplo de 4, ou seja, .
Passo 5
Fechando a lógica (ligando contrapositiva à afirmação original) e dica prática para prova:
- Mostramos que, se
é ímpar (isto é, ), então . Essa é exatamente a contrapositiva da implicação original. - Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação inicial, concluímos que
- Dica para prova em prova: escrever logo a contrapositiva e fazer
e expandir — é curto, direto e elegante. Exemplo numérico para intuição: é ímpar e (resto 1), logo não múltiplo de 4; para (par) temos que é múltiplo de 4.