1. Prove, por contraposição, que dado n \in \mathbb{N} e n^{2} é divisível por 4, então n é par.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Dado n\in\mathbb{N}.
  • Hipótese que aparece no enunciado: n^{2} é divisível por 4, ou seja, 4\mid n^{2}.
  • Afirmação a demonstrar: a partir de 4\mid n^{2} provar que n é par (ou seja, 2\mid n).
Portanto a tarefa é provar a implicação
4\mid n^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2\mid n.

Passo 2

Ideia do método por contraposição (explicação didática):
  • Uma implicação lógica P\Rightarrow Q é equivalente à sua contrapositiva \lnot Q \Rightarrow \lnot P. Ou seja, provar P\Rightarrow Q é o mesmo que provar que, se Q é falso então P também é falso.
  • Aqui P é a afirmação “ 4\mid n^{2}” e Q é “ 2\mid n”. A contrapositiva é: \text{se }2\nmid n\text{ (ou seja, \(n\) é ímpar) então }4\nmid n^{2}.éíã
  • Vou provar essa contrapositiva: mostrar que qualquer inteiro ímpar tem quadrado que não é múltiplo de 4. Isso implica a afirmação original.

Passo 3

Definições e ferramentas básicas (para usar na prova e na prova na prova da prova — brincadeira, mas importante!):
  • Dizemos que n é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que n=2k. Dizemos que n é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que n=2k+1.
  • Dizemos que 4\mid n^{2} (lê-se "4 divide n^{2}") se existe t\in\mathbb{Z} tal que n^{2}=4t.
  • Estratégia: assumir n ímpar, escrever n=2k+1, calcular n^{2} e ver sua forma em relação a múltiplos de 4.

Passo 4

Prova algébrica da contrapositiva (passo a passo das contas):
  • Assuma n ímpar; então existe k\in\mathbb{Z} com n=2k+1.
  • Calcule o quadrado:
n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1.
  • Factorize um 4 onde dá:
n^{2}=4\bigl(k^{2}+k\bigr)+1.
  • Note que m:=k^{2}+k é um número inteiro, logo n^{2}=4m+1. Isso significa que ao dividir n^{2} por 4 o resto é 1.
  • Conclusão desta etapa: n^{2} NÃO é múltiplo de 4, ou seja, 4\nmid n^{2}.

Passo 5

Fechando a lógica (ligando contrapositiva à afirmação original) e dica prática para prova:
  • Mostramos que, se n é ímpar (isto é, 2\nmid n), então 4\nmid n^{2}. Essa é exatamente a contrapositiva da implicação original.
  • Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação inicial, concluímos que 4\mid n^{2}\quad\Rightarrow\quad 2\mid n.
  • Dica para prova em prova: escrever logo a contrapositiva e fazer n=2k+1 e expandir — é curto, direto e elegante. Exemplo numérico para intuição: n=3 é ímpar e 3^{2}=9=4\cdot2+1 (resto 1), logo não múltiplo de 4; para n=4 (par) temos 4^{2}=16 que é múltiplo de 4.

Resposta

\;4\mid n^{2}\Rightarrow 2\mid n.

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