- Prove, por absurdo, que sendo
natural e
par, então
é par.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um número natural. -
é par.
O que se pede:
- Mostrar que
é par.
Passo 2
Vamos provar por absurdo (contradição): suponha, em oposição ao que queremos demonstrar, que
é ímpar. Vou explicar o que isso significa e por que isso vai gerar uma contradição com a hipótese
par.
Passo 3
Definição prática de ímpar: um número natural
é ímpar se existe um inteiro
tal que
Aqui
é um inteiro porque subtrair 1 e dividir por 2 em um ímpar dá um inteiro. Pela suposição do absurdo, existe um inteiro
com
.
Passo 4
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado e desenvolvemos passo a passo:
Expandindo o quadrado:
Agrupando um fator
nos dois primeiros termos:
Seja
. Como
é inteiro,
também é inteiro. Assim
Passo 5
A expressão
mostra que
é ímpar (um número que pode ser escrito como
vezes um inteiro mais
é, por definição, ímpar). Mas isso contradiz a hipótese dada no enunciado de que
é par. Temos, portanto, que a suposição inicial (que
é ímpar) leva a uma contradição lógica.
Passo 6
Como a suposição de que
é ímpar gera uma contradição com a hipótese do problema, essa suposição é falsa. Logo, a negação dela é verdadeira:
não é ímpar, isto é,
é par.