1. Prove, por absurdo, que sendo n natural e n^{2} par, então n é par.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • n é um número natural.
  • n^{2} é par.
O que se pede:
  • Mostrar que n é par.

Passo 2

Vamos provar por absurdo (contradição): suponha, em oposição ao que queremos demonstrar, que n é ímpar. Vou explicar o que isso significa e por que isso vai gerar uma contradição com a hipótese n^{2} par.

Passo 3

Definição prática de ímpar: um número natural n é ímpar se existe um inteiro k tal que
n = 2k+1.
Aqui k é um inteiro porque subtrair 1 e dividir por 2 em um ímpar dá um inteiro. Pela suposição do absurdo, existe um inteiro k com n=2k+1.

Passo 4

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado e desenvolvemos passo a passo:
n^{2} = (2k+1)^{2}.
Expandindo o quadrado:
(2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1.
Agrupando um fator 2 nos dois primeiros termos:
4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1.
Seja m = 2k^{2} + 2k. Como k é inteiro, m também é inteiro. Assim
n^{2} = 2m + 1.

Passo 5

A expressão n^{2} = 2m + 1 mostra que n^{2} é ímpar (um número que pode ser escrito como 2 vezes um inteiro mais 1 é, por definição, ímpar). Mas isso contradiz a hipótese dada no enunciado de que n^{2} é par. Temos, portanto, que a suposição inicial (que n é ímpar) leva a uma contradição lógica.

Passo 6

Como a suposição de que n é ímpar gera uma contradição com a hipótese do problema, essa suposição é falsa. Logo, a negação dela é verdadeira: n não é ímpar, isto é, n é par.

Resposta

n é par.

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