- (ENA PROFMAT Adaptado) Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras.
a) Se
, então
.
b) Se
, então
ou
ou
.
c) Existe
, tal que
.
a) Se
b) Se
c) Existe
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado afirma e o que precisa ser verificado.
- Afirmação (a): Se
, então . - Afirmação (b): Se
, então ou ou . - Afirmação (c): Existe
tal que .
O objetivo é verificar, para cada afirmação, se ela é verdadeira ou falsa, mostrando os cálculos passo a passo.
Passo 2
Analisando a afirmação (a). Começamos resolvendo a equação dada:
Subtraindo
de ambos os lados obtemos uma equação equivalente:
Agora fatoramos
em evidência:
Pelo princípio do produto nulo, se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as soluções são
ou seja,
Assim, a equação original tem duas soluções:
e
. A afirmação (a) diz que a única solução é
, o que é incorreto porque
também satisfaz a equação (verificação rápida: para
,
e
). Logo a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Comentário didático importante sobre (a): um erro comum é “cancelar”
dos dois lados e escrever
, obtendo só
. Isso é perigoso porque cancelar um fator que pode ser zero elimina a solução
. A forma correta é sempre fatorar e aplicar o produto nulo, garantindo não perder soluções.
Passo 4
Analisando a afirmação (b). Começamos por reconhecer a fatoração do polinômio quadrático:
Substituindo na expressão dada:
Novamente, pelo produto nulo, isso ocorre quando
ou quando
. A equação
tem solução
(é uma raiz dupla, mas continua sendo só a solução
). Portanto as soluções são
A afirmação (b) acrescenta
como possível solução; vamos verificar: para
o valor do produto é
logo
não é solução. Portanto a afirmação (b) é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação (c). Queremos saber se existe algum
que satisfaça
Primeiro observamos o domínio:
(não podemos dividir por zero). Para resolver a desigualdade, trazemos tudo para um único quociente:
Fazendo a subtração com denominador comum
:
Logo a desigualdade é equivalente a
Como o numerador
é negativo, o quociente será positivo exatamente quando o denominador for negativo. Portanto precisamos de
Como existem muitos reais menores que
(por exemplo
), existe de fato
que satisfaz a desigualdade. Verificação numérica rápida com
:
Portanto a afirmação (c) é verdadeira.
Resposta
a) Falsa\n
b) Falsa\n
c) Verdadeira
b) Falsa\n
c) Verdadeira