1. (ENA PROFMAT Adaptado) Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras.
    a) Se (x-3)(x-2)=(x-2), então x=2.
    b) Se x\left(x^{2}-2 x+1\right)=0, então x=0 ou x=1 ou x=2.
    c) Existe x \in \mathbb{R}, tal que \frac{x-1}{x+1}>1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado afirma e o que precisa ser verificado.
  • Afirmação (a): Se (x-3)(x-2)=(x-2), então x=2.
  • Afirmação (b): Se x\left(x^{2}-2x+1\right)=0, então x=0 ou x=1 ou x=2.
  • Afirmação (c): Existe x\in\mathbb{R} tal que \dfrac{x-1}{x+1}>1.
O objetivo é verificar, para cada afirmação, se ela é verdadeira ou falsa, mostrando os cálculos passo a passo.

Passo 2

Analisando a afirmação (a). Começamos resolvendo a equação dada:
(x-3)(x-2)=(x-2).
Subtraindo (x-2) de ambos os lados obtemos uma equação equivalente:
(x-3)(x-2)-(x-2)=0.
Agora fatoramos (x-2) em evidência:
(x-2)\bigl((x-3)-1\bigr)=(x-2)(x-4)=0.
Pelo princípio do produto nulo, se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as soluções são
x-2=0\quad\text{ou}\quad x-4=0,
ou seja,
x=2\quad\text{ou}\quad x=4.
Assim, a equação original tem duas soluções: x=2 e x=4. A afirmação (a) diz que a única solução é x=2, o que é incorreto porque x=4 também satisfaz a equação (verificação rápida: para x=4, (4-3)(4-2)=1\cdot2=2 e (4-2)=2). Logo a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Comentário didático importante sobre (a): um erro comum é “cancelar” (x-2) dos dois lados e escrever x-3=1, obtendo só x=4. Isso é perigoso porque cancelar um fator que pode ser zero elimina a solução x=2. A forma correta é sempre fatorar e aplicar o produto nulo, garantindo não perder soluções.

Passo 4

Analisando a afirmação (b). Começamos por reconhecer a fatoração do polinômio quadrático:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Substituindo na expressão dada:
x\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=x(x-1)^{2}=0.
Novamente, pelo produto nulo, isso ocorre quando x=0 ou quando (x-1)^{2}=0. A equação (x-1)^{2}=0 tem solução x=1 (é uma raiz dupla, mas continua sendo só a solução 1). Portanto as soluções são
x=0\quad\text{ou}\quad x=1.
A afirmação (b) acrescenta x=2 como possível solução; vamos verificar: para x=2 o valor do produto é
2\bigl(2^{2}-2\cdot2+1\bigr)=2(4-4+1)=2\cdot1=2\neq0,
logo x=2 não é solução. Portanto a afirmação (b) é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (c). Queremos saber se existe algum x\in\mathbb{R} que satisfaça
\frac{x-1}{x+1}>1.
Primeiro observamos o domínio: x\neq -1 (não podemos dividir por zero). Para resolver a desigualdade, trazemos tudo para um único quociente:
\frac{x-1}{x+1}-1>0.
Fazendo a subtração com denominador comum x+1:
\frac{x-1-(x+1)}{x+1}=\frac{x-1-x-1}{x+1}=\frac{-2}{x+1}>0.
Logo a desigualdade é equivalente a
\frac{-2}{x+1}>0.
Como o numerador -2 é negativo, o quociente será positivo exatamente quando o denominador for negativo. Portanto precisamos de
x+1<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<-1.
Como existem muitos reais menores que -1 (por exemplo x=-2), existe de fato x\in\mathbb{R} que satisfaz a desigualdade. Verificação numérica rápida com x=-2:
\frac{-2-1}{-2+1}=\frac{-3}{-1}=3>1.
Portanto a afirmação (c) é verdadeira.

Resposta

a) Falsa\n
b) Falsa\n
c) Verdadeira

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