Prove que se
, então
é o número de inteiros na sequência
que são divisíveis por
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos dois inteiros
e
e definimos
Queremos mostrar que, na sequência
exatamente
termos são divisíveis por
. Para isso vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e o fato de que
Passo 2
Seja
um inteiro com
. Note que
pois basta dividir ambos os lados da divisibilidade por
.
Passo 3
Como
, a condição
implica que
deve dividir
. Ou seja,
Passo 4
Entre os inteiros de
até
, os múltiplos de
são
Há exatamente
destes múltiplos. Concluímos que, na sequência dada, há
valores de
tais que
.