Encontre a solução geral da equação diferencial dada
2 y^{\prime}+y=3 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
2\,y'+y=3\,t^2.
O conteúdo aqui é ODE linear do tipo
y'+p(t)\,y=q(t),
e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo tudo por 2:
y'+\frac{1}{2}\,y=\frac{3}{2}\,t^2.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\Bigl(\int \tfrac{1}{2}\,dt\Bigr)=e^{t/2}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t), obtemos
e^{t/2}\,y'+\frac{1}{2}e^{t/2}\,y =\frac{3}{2}\,t^2\,e^{t/2},
ou seja, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) =\frac{3}{2}\,t^2\,e^{t/2}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{t/2} =\int \frac{3}{2}\,t^2\,e^{t/2}\,dt + C.

Passo 6

Para calcular \displaystyle\int t^2\,e^{t/2}\,dt, usamos integração por partes duas vezes:
  1. Defina u=t^2, dv=e^{t/2}dt. Então du=2t\,dt, v=2e^{t/2}.
\int t^2 e^{t/2}\,dt =2t^2e^{t/2}-4\int t\,e^{t/2}\,dt.
  1. Agora calcule \displaystyle\int t\,e^{t/2}\,dt por partes:
    defina u=t, dv=e^{t/2}dt. Então du=dt, v=2e^{t/2}.
\int t\,e^{t/2}\,dt =2t\,e^{t/2}-4e^{t/2}.
Substituindo de volta:
\int t^2 e^{t/2}\,dt =2t^2e^{t/2}-4\bigl(2t\,e^{t/2}-4e^{t/2}\bigr) =2t^2e^{t/2}-8t\,e^{t/2}+16e^{t/2}.
Multiplicando por \tfrac{3}{2}:
\int \frac{3}{2}t^2e^{t/2}\,dt =3t^2e^{t/2}-12t\,e^{t/2}+24e^{t/2}.
Logo
y\,e^{t/2} =3t^2e^{t/2}-12t\,e^{t/2}+24e^{t/2}+C.

Passo 7

Dividindo por e^{t/2}, obtemos a solução geral:
y(t)=3t^2-12t+24 + C\,e^{-t/2}.

Resposta

y(t)=C\,e^{-t/2}+3t^2-12t+24.

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