\int 5 \sin (2 t) \cdot e^{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 5 \sin(2t)\,e^{t}\,dt.
O conteúdo que vamos usar é o método de integração por partes aplicado duas vezes, montando um sistema de equações para encontrar a primitiva de e^{t}\sin(2t).

Passo 2

Definimos
I = \int e^{t}\sin(2t)\,dt
e aplicamos integração por partes escolhendo u=\sin(2t) e dv=e^{t}dt. Então du=2\cos(2t)\,dt e v=e^{t}, o que dá
I = e^{t}\sin(2t) - 2\int e^{t}\cos(2t)\,dt.
Chamamos essa segunda integral de
J = \int e^{t}\cos(2t)\,dt,
ficando
I = e^{t}\sin(2t) - 2J.

Passo 3

Agora calculamos
J = \int e^{t}\cos(2t)\,dt
por partes, com u=\cos(2t) e dv=e^{t}dt. Então du=-2\sin(2t)\,dt e v=e^{t}, resultando em
J = e^{t}\cos(2t) + 2\int e^{t}\sin(2t)\,dt = e^{t}\cos(2t) + 2I.

Passo 4

Substituímos J em
I = e^{t}\sin(2t) - 2J
para obter
I = e^{t}\sin(2t) - 2\bigl(e^{t}\cos(2t) + 2I\bigr) = e^{t}\sin(2t) - 2e^{t}\cos(2t) - 4I.
Agrupando os termos em I, temos
5I = e^{t}\bigl(\sin(2t) - 2\cos(2t)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{t}}{5}\bigl(\sin(2t) - 2\cos(2t)\bigr).

Passo 5

A integral original é
\int 5\sin(2t)\,e^{t}\,dt = 5I = e^{t}\bigl(\sin(2t) - 2\cos(2t)\bigr) + C.

Resposta

\int 5 \sin(2t)\,e^{t}\,dt = e^{t}\bigl(\sin(2t) - 2\cos(2t)\bigr) + C.

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