Prove que:
(d) sumk=1^+infty 2 k-13^k=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma infinita de para indo de 1 ao infinito é igual a 1. Isso envolve conceitos de séries infinitas, especificamente somas de termos que envolvem potências e múltiplos de . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de séries geométricas e suas variações.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão 2k - 13^k = 2k3^k - 13^k em duas partes para facilitar a soma:
sumk=1^+infty 2k - 13^k = 2 sumk=1^+infty k3^k - sumk=1^+infty 13^k
Agora, a soma original pode ser escrita como a diferença de duas somas:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma geométrica básica:
sumk=1^+infty 13^k
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita sumk=1^+infty 13^k = 131 - 13 = 1323 = 12 é igual a quando . Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a soma que envolve sumk=1^+infty k3^k :
sumk=1^+infty k r^k = r(1 - r)^2
Existe uma fórmula para esse tipo de soma onde cada termo é sumk=1^+infty k3^k = 13(1 - 13)^2 = 13(23)^2 = 1349 = 13 times 94 = 34 :
Aplicando essa fórmula com :

Passo 5

Agora que temos os valores das duas somas separadas, vamos substituí-los de volta na expressão original:
2 sumk=1^+infty k3^k - sumk=1^+infty 13^k = 2 times 34 - 12 = 64 - 12 = 32 - 12 = 1

Resposta

Portanto, .

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