Mostre que, para qualquer valor de x, temos:
sen x-12 sen^2 x+14 sen^3 x-18 sen^4 x+cdots+(-1)^n 12^n sen^n+1 x+cdots=2 sen x2+sen x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita envolvendo potências do seno de sen x - 12 sen^2 x + 14 sen^3 x - 18 sen^4 x + cdots + (-1)^n 12^n sen^n+1 x + cdots :
2 sen x2 + sen x
E precisamos mostrar que essa série é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar uma série infinita onde cada termo é uma potência da função seno multiplicada por uma fração que decresce geometricamente.

Passo 2

Primeiro, observe que os coeficientes da série seguem um padrão geométrico. Cada termo tem um fator de Coeficiente >=ral: (-1)^n 12^n em relação ao termo anterior:
a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots
Isso se parece com uma série geométrica, que tem a forma geral:
Onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 3

No nosso caso, cada termo da série original pode ser escrito como:
(-1)^n 12^n sen^n+1 x
Podemos reescrever isso para destacar a parte geométrica:
sen x ( -sen x2 )^n
Aqui, e .

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
Desde que sumn=0^infty sen x ( -sen x2 )^n , ou seja, a série converge.
No nosso caso, começamos a somar a partir de , então ajustamos a expressão:

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
a1 - r = sen x1 - ( -sen x2 ) = sen x1 + sen x2
Simplificando o denominador:
1 + sen x2 = 2 + sen x2
Então, a soma fica:
sen x2 + sen x2 = sen x cdot 22 + sen x = 2 sen x2 + sen x

Resposta

Assim, mostramos que a série infinita dada é igual a:
2 sen x2 + sen x

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