Mostre que, para qualquer valor de
, temos:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita envolvendo potências do seno de
:
E precisamos mostrar que essa série é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar uma série infinita onde cada termo é uma potência da função seno multiplicada por uma fração que decresce geometricamente.
Passo 2
Primeiro, observe que os coeficientes da série seguem um padrão geométrico. Cada termo tem um fator de
em relação ao termo anterior:
Isso se parece com uma série geométrica, que tem a forma geral:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
No nosso caso, cada termo da série original pode ser escrito como:
Podemos reescrever isso para destacar a parte geométrica:
Aqui,
e
.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Desde que
, ou seja, a série converge.
No nosso caso, começamos a somar a partir de
, então ajustamos a expressão:
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Simplificando o denominador:
Então, a soma fica:
Resposta
Assim, mostramos que a série infinita dada é igual a: