Prove que, dado um número racional
e um número natural
, nem sempre
é racional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um número racional
(em forma irredutível, ou seja,
) e um natural
, nem sempre
é racional. Vamos usar prova por absurdo, fatoração prima e um critério de potências perfeitas.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existe uma fração em forma irredutível
(com
) tal que
Passo 3
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
Agora, analise a fatoração prima: qualquer primo que divida
deve dividir
, mas não pode dividir
(pois
). Logo esse primo teria de dividir
, contradizendo
. Portanto não há tais
.
Passo 4
Concluímos que
só pode ser racional se tanto
quanto
forem potências perfeitas de grau
. Caso contrário a raiz é irracional. Isso mostra que, em geral, nem sempre
é racional; por exemplo,
é irracional.
Resposta
A raiz
-ésima de
é racional se e somente se
e
forem potências perfeitas de grau
. Caso contrário,
é irracional. Portanto, nem sempre
é racional (por exemplo,
é irracional).