Prove que, dado um número racional ab e um número natural n >= 2, nem sempre raiz[n]ab é racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número racional tfracab (em forma irredutível, ou seja, gcd(a,b)=1) e um natural n>=2, nem sempre raiz[n]tfracab é racional. Vamos usar prova por absurdo, fatoração prima e um critério de potências perfeitas.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raiz[n]tfracab seja racional. Então existe uma fração em forma irredutível tfracpq (com gcd(p,q)=1) tal que
raiz[n]tfracab = pq

Passo 3

Elevando ambos os lados à potência n, obtemos
a,q^n = b,p^n
Agora, analise a fatoração prima: qualquer primo que divida b deve dividir a,q^n, mas não pode dividir p^n (pois gcd(p,q)=1). Logo esse primo teria de dividir a, contradizendo gcd(a,b)=1. Portanto não há tais p,q.

Passo 4

Concluímos que raiz[n]tfracab só pode ser racional se tanto a quanto b forem potências perfeitas de grau n. Caso contrário a raiz é irracional. Isso mostra que, em geral, nem sempre raiz[n]tfracab é racional; por exemplo, raiz2=raiz[2]2/1 é irracional.

Resposta

A raiz n-ésima de a/b é racional se e somente se a e b forem potências perfeitas de grau n. Caso contrário, raiz[n]a/b é irracional. Portanto, nem sempre raiz[n]a/b é racional (por exemplo, raiz2 é irracional).

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