Prove que
.
Solução
Admitamos que a fração irredutível
seja tal que
. Desse modo temos:
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Fundamentos de Matemática Elementar 11
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Fazendo
, com
, temos:
é par
é par e isso é absurdo, pois mdc
.
Admitamos que a fração irredutível
Fundamentos de Matemática Elementar 11
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Passo 1
O enunciado pede para provar que
não pertence a
. Vamos usar prova por contradição, representando
como fração irredutível e explorando a paridade de números inteiros.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existe uma fração irreduzível
, com
e
, tal que
. Elevando ao quadrado, obtemos:
Logo,
é par, pois é o dobro de
.
Passo 3
Como
é par,
também é par (um quadrado é par se e somente se sua base é par). Então podemos escrever
para algum
. Substituindo em
, temos:
Assim,
é par, e portanto
é par.
Passo 4
Concluímos que tanto
quanto
são pares, o que implica que
. Isso contradiz a hipótese de que
estava em forma irredutível (
).
Passo 5
Como chegamos a uma contradição, a suposição inicial de que
fosse racional está errada. Portanto,
não pertence a
.