Prove que raiz2 notin Q.
Solução
Admitamos que a fração irredutível ab seja tal que raiz2=ab. Desse modo temos:
ab=raiz2 Rightarrow a^2=2 b^2 Rightarrow a^2 é par Rightarrow a é par éé
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Fundamentos de Matemática Elementar 11
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Fazendo a=2 m, com m in Z, temos:
a^2=2 b^2 Rightarrow(2 m)^2=2 b^2 Rightarrow b^2=2 m^2 Rightarrow b^2 é par Rightarrow
Rightarrow b é par e isso é absurdo, pois mdc (a, b)=1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que raiz2 não pertence a Q. Vamos usar prova por contradição, representando raiz2 como fração irredutível e explorando a paridade de números inteiros.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raiz2 seja racional. Então existe uma fração irreduzível ab, com a,binZ, b>0 e mdc(a,b)=1, tal que raiz2=ab. Elevando ao quadrado, obtemos:
a^2=2b^2
Logo, a^2 é par, pois é o dobro de b^2.

Passo 3

Como a^2 é par, a também é par (um quadrado é par se e somente se sua base é par). Então podemos escrever a=2m para algum minZ. Substituindo em a^2=2b^2, temos:
(2m)^2=2b^2Rightarrow4m^2=2b^2Rightarrow b^2=2m^2
Assim, b^2 é par, e portanto b é par.

Passo 4

Concluímos que tanto a quanto b são pares, o que implica que mdc(a,b)>=2. Isso contradiz a hipótese de que ab estava em forma irredutível ( mdc(a,b)=1).

Passo 5

Como chegamos a uma contradição, a suposição inicial de que raiz2 fosse racional está errada. Portanto, raiz2 não pertence a Q.

Resposta

raiz2notinQ

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